Номер 916, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 916, страница 251.

Условие.

916. Докажите, что верно неравенство $\sqrt{2+\sqrt{2}} + \sqrt{2-\sqrt{2}} < 2\sqrt{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим левую часть неравенства как $A$.$A = \sqrt{2+\sqrt{2}} + \sqrt{2-\sqrt{2}}$.Правая часть неравенства равна $2\sqrt{2}$.

Обе части неравенства являются положительными числами. Левая часть $A$ — это сумма двух положительных квадратных корней, а правая часть $2\sqrt{2}$ также очевидно положительна. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, и знак неравенства при этом не изменится. Нам нужно доказать, что $A^2 < (2\sqrt{2})^2$.

Возведем в квадрат левую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:$A^2 = (\sqrt{2+\sqrt{2}} + \sqrt{2-\sqrt{2}})^2$$A^2 = (\sqrt{2+\sqrt{2}})^2 + 2 \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} + (\sqrt{2-\sqrt{2}})^2$$A^2 = (2+\sqrt{2}) + 2\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} + (2-\sqrt{2})$

Упростим выражение под корнем в среднем слагаемом, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:$(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$.

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение для $A^2$:$A^2 = (2+\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} + (2-\sqrt{2})$$A^2 = 2 + \sqrt{2} + 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 = 4 + 2\sqrt{2}$.

Далее возведем в квадрат правую часть исходного неравенства:$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Таким образом, исходное неравенство $\sqrt{2+\sqrt{2}} + \sqrt{2-\sqrt{2}} < 2\sqrt{2}$ равносильно следующему неравенству:$4 + 2\sqrt{2} < 8$.

Вычтем 4 из обеих частей полученного неравенства:$2\sqrt{2} < 8 - 4$$2\sqrt{2} < 4$.

Разделим обе части на 2:$\sqrt{2} < 2$.

Последнее неравенство является верным, поскольку $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{2} < \sqrt{4}$. Так как все выполненные преобразования были равносильными, то и исходное неравенство является верным.

Ответ: Неравенство доказано.