Номер 911, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 911, страница 251.

Условие.

911. Упростите выражение $x^2 \cdot \sqrt{x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}}$, если $x < -1$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Данное выражение: $x^2 \cdot \sqrt{x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}}$ при условии, что $x < -1$.

Сначала рассмотрим выражение под знаком корня: $x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$.

Это выражение можно представить в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$. Тогда $a^2 = x^2$, $b^2 = (\frac{1}{x})^2 = \frac{1}{x^2}$, а $2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$.

Таким образом, подкоренное выражение равно:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$x^2 \cdot \sqrt{(x - \frac{1}{x})^2}$

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$x^2 \cdot |x - \frac{1}{x}|$

Далее необходимо раскрыть модуль, учитывая заданное условие $x < -1$. Для этого определим знак выражения $x - \frac{1}{x}$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}$

Проанализируем знак числителя и знаменателя при $x < -1$:

1. Знаменатель $x$ является отрицательным числом по условию.

2. Если $x < -1$, то, возведя обе части неравенства в квадрат и изменив знак (так как возводим в квадрат отрицательные числа), получим $x^2 > (-1)^2$, то есть $x^2 > 1$. Следовательно, числитель $x^2 - 1$ является положительным числом.

Таким образом, выражение $\frac{x^2 - 1}{x}$ представляет собой частное от деления положительного числа на отрицательное, значит, оно отрицательно. То есть, $x - \frac{1}{x} < 0$.

По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$. Следовательно:

$|x - \frac{1}{x}| = -(x - \frac{1}{x}) = \frac{1}{x} - x$.

Теперь подставим это в наше выражение и упростим:

$x^2 \cdot (\frac{1}{x} - x) = x^2 \cdot \frac{1}{x} - x^2 \cdot x = x - x^3$.

Ответ: $x - x^3$