Номер 907, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 907, страница 250.

Условие.

Уровень В

907. Вычислите: $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} + \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{7}+2}$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для вычисления значения данного выражения необходимо упростить каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Это делается путем умножения числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателей вида $a-b$ сопряженным является $a+b$, и наоборот. При этом используется формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

1. Упрощение первого слагаемого $ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} $

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{6}+\sqrt{2} $:

$ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6} + 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{12} + 2 \cdot 2}{6 - 2} $

Упростим полученное выражение:

$ \frac{2\sqrt{4 \cdot 3} + 4}{4} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3} + 4}{4} = \frac{4\sqrt{3} + 4}{4} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{4} = \sqrt{3} + 1 $

2. Упрощение второго слагаемого $ \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} $

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{7}-\sqrt{3} $:

$ \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3} $

3. Упрощение третьего слагаемого $ \frac{3}{\sqrt{7}+2} $

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{7}-2 $:

$ \frac{3}{\sqrt{7}+2} = \frac{3 \cdot (\sqrt{7}-2)}{(\sqrt{7}+2) \cdot (\sqrt{7}-2)} = \frac{3(\sqrt{7}-2)}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{3(\sqrt{7}-2)}{7 - 4} = \frac{3(\sqrt{7}-2)}{3} = \sqrt{7} - 2 $

4. Вычисление итогового значения

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$ (\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{7} - \sqrt{3}) - (\sqrt{7} - 2) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ \sqrt{3} + 1 + \sqrt{7} - \sqrt{3} - \sqrt{7} + 2 = (\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{7}) + (1 + 2) = 0 + 0 + 3 = 3 $

Ответ: $3$.