Номер 903, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 903, страница 250.

Условие.

903. Упростите выражение:

a) $\frac{(a^{12}\sqrt{a^6})^2}{a^4 \cdot a^3}$

б) $\left(-\frac{2a}{3b^{-3}}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{a^{-2}}{4b^5}\right)^{-1}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{(a^{12}\sqrt{a^6})^2}{a^4 \cdot a^3} $, выполним действия по шагам.
1. Упростим выражение в числителе внутри скобок. Корень квадратный из $ a^6 $ можно представить в виде степени с рациональным показателем: $ \sqrt{a^6} = (a^6)^{1/2} $. По свойству возведения степени в степень ($ (x^m)^n = x^{mn} $), получаем $ a^{6 \cdot \frac{1}{2}} = a^3 $.
2. Теперь выражение в скобках имеет вид $ a^{12} \cdot a^3 $. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $), получаем: $ a^{12+3} = a^{15} $.
3. Возведем полученный результат в квадрат: $ (a^{15})^2 = a^{15 \cdot 2} = a^{30} $.
4. Упростим знаменатель, используя то же свойство умножения степеней: $ a^4 \cdot a^3 = a^{4+3} = a^7 $.
5. Наконец, разделим упрощенный числитель на знаменатель. По свойству деления степеней ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $), получаем: $ \frac{a^{30}}{a^7} = a^{30-7} = a^{23} $.
Ответ: $ a^{23} $

б) Чтобы упростить выражение $ (-\frac{2a}{3b^{-3}})^{-2} \cdot (\frac{a^{-2}}{4b^5})^{-1} $, упростим каждый множитель по отдельности.
1. Упростим первый множитель $ (-\frac{2a}{3b^{-3}})^{-2} $.
Сначала преобразуем выражение в скобках. По свойству отрицательной степени $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $, имеем $ b^{-3} = \frac{1}{b^3} $. Тогда дробь примет вид: $ -\frac{2a}{3/b^3} = -\frac{2ab^3}{3} $.
Теперь возведем полученную дробь в степень -2. Используя свойство $ (\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n $, получаем: $ (-\frac{2ab^3}{3})^{-2} = (-\frac{3}{2ab^3})^2 = \frac{(-3)^2}{(2ab^3)^2} = \frac{9}{4a^2(b^3)^2} = \frac{9}{4a^2b^6} $.
2. Упростим второй множитель $ (\frac{a^{-2}}{4b^5})^{-1} $.
Используя свойство $ (\frac{x}{y})^{-1} = \frac{y}{x} $, "перевернем" дробь: $ \frac{4b^5}{a^{-2}} $.
Далее, так как $ a^{-2} = \frac{1}{a^2} $, то знаменатель становится $ \frac{1}{a^2} $. Таким образом, выражение равно $ \frac{4b^5}{1/a^2} = 4b^5 \cdot a^2 = 4a^2b^5 $.
3. Перемножим упрощенные выражения:
$ \frac{9}{4a^2b^6} \cdot 4a^2b^5 = \frac{9 \cdot 4a^2b^5}{4a^2b^6} $.
Сократим одинаковые множители $ 4 $ и $ a^2 $ в числителе и знаменателе. Остается $ \frac{9b^5}{b^6} $.
По свойству деления степеней, $ \frac{b^5}{b^6} = b^{5-6} = b^{-1} = \frac{1}{b} $.
В результате получаем $ 9 \cdot \frac{1}{b} = \frac{9}{b} $.
Ответ: $ \frac{9}{b} $