Номер 918, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 918, страница 251.

Условие.

918. Цену на товар, равную 64 у.д.е, трижды увеличивали на одно и то же число процентов. Затем полученную цену трижды уменьшали на это же число процентов. Найдите это число процентов, если цена товара стала равной 27 у.д.е.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть начальная цена товара составляла 64 у.е., а искомое число процентов — $p$.

Для удобства вычислений представим проценты в виде десятичной дроби. Пусть $x = \frac{p}{100}$.

Когда цену увеличивают на $p$ процентов, ее умножают на коэффициент $(1 + x)$. Поскольку цену увеличивали трижды, после трех последовательных увеличений она станет равной:$64 \cdot (1 + x) \cdot (1 + x) \cdot (1 + x) = 64 \cdot (1 + x)^3$.

Затем полученную цену уменьшали на $p$ процентов. При уменьшении цены на $p$ процентов, ее умножают на коэффициент $(1 - x)$. После трех последовательных уменьшений цена станет равной:$(64 \cdot (1 + x)^3) \cdot (1 - x) \cdot (1 - x) \cdot (1 - x) = 64 \cdot (1 + x)^3 \cdot (1 - x)^3$.

Используя свойство степеней, объединим множители:$64 \cdot ((1 + x)(1 - x))^3$.

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:$64 \cdot (1^2 - x^2)^3 = 64 \cdot (1 - x^2)^3$.

По условию задачи, итоговая цена стала равна 27 у.е. Составим уравнение:$64 \cdot (1 - x^2)^3 = 27$.

Разделим обе части уравнения на 64:$(1 - x^2)^3 = \frac{27}{64}$.

Чтобы найти $1 - x^2$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения. Так как $27 = 3^3$ и $64 = 4^3$, получаем:$1 - x^2 = \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем $x^2$:$x^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5$. (Мы берем положительный корень, так как процент не может быть отрицательным числом).

Чтобы перевести значение $x$ обратно в проценты, умножим его на 100:$p = 0.5 \cdot 100 = 50\%$.

Ответ: 50%.