Номер 923, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 923, страница 252.

Условие.

923. При каких значениях x имеет смысл выражение:

a) $\sqrt{-6-2x}$;

б) $\sqrt{-x^2+x+20}$;

в) $\frac{\sqrt{x+2}}{x^2+6x+5}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Выражение $\sqrt{-6 - 2x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$-6 - 2x \ge 0$

Перенесем $-6$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$-2x \ge 6$

Разделим обе части неравенства на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -3$

Таким образом, выражение имеет смысл для всех значений $x$, которые меньше или равны $-3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3]$.

б)

Выражение $\sqrt{-x^2 + x + 20}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Составим и решим неравенство:

$-x^2 + x + 20 \ge 0$

Чтобы было удобнее решать, умножим обе части неравенства на $-1$, при этом изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 20 \le 0$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 20 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-20$. Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю ($y \le 0$) находятся на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $[-4; 5]$.

Ответ: $x \in [-4; 5]$.

в)

Данное выражение $\frac{\sqrt{x+2}}{x^2+6x+5}$ представляет собой дробь, в числителе которой находится квадратный корень. Выражение имеет смысл при выполнении двух условий одновременно:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x + 2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 + 6x + 5 \ne 0$.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ x^2 + 6x + 5 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

Теперь решим второе условие. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их. Решим уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.

Значит, $x$ не может быть равен $-1$ и $-5$.

Объединим полученные результаты: нам нужны такие $x$, которые удовлетворяют условию $x \ge -2$, но при этом $x \ne -1$ и $x \ne -5$.

Условие $x \ne -5$ уже выполняется, так как $-5$ не входит в промежуток $x \ge -2$.

Таким образом, из промежутка $[-2; +\infty)$ необходимо исключить точку $x = -1$.

Получаем объединение двух промежутков: $[-2; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (-1; +\infty)$.