Номер 927, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 927, страница 253.

Условие.

927. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ -x^2 + 2x - 3 < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + x - 6 \ge 0, \\ x^2 - 5x - 24 \le 0. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 + x - 6 < 0, \\-x^2 + 2x - 3 < 0;\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-3, 2)$.

2. Решим второе неравенство: $-x^2 + 2x - 3 < 0$.

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x + 3 > 0$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x + 3 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент ($a=1$) положителен, парабола $y = x^2 - 2x + 3$ полностью лежит выше оси Ox и не имеет с ней точек пересечения. Это означает, что выражение $x^2 - 2x + 3$ положительно при любом действительном значении $x$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решением системы является пересечение множеств $x \in (-3, 2)$ и $x \in (-\infty, +\infty)$, что соответствует интервалу $(-3, 2)$.

Ответ: $x \in (-3, 2)$.

б)

Решим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 + x - 6 \ge 0, \\x^2 - 5x - 24 \le 0.\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + x - 6 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ были найдены в пункте а): $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх, значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) на лучах вне корней, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 5x - 24 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 11}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{5 + 11}{2} = 8$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.

Решение второго неравенства: $x \in [-3, 8]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, -3] \cup [2, +\infty)) \cap [-3, 8]$.

Для наглядности можно изобразить решения на числовой прямой. Пересечением множества $(-\infty, -3]$ с отрезком $[-3, 8]$ является точка $x = -3$. Пересечением множества $[2, +\infty)$ с отрезком $[-3, 8]$ является отрезок $[2, 8]$.

Объединяя полученные результаты, получаем решение системы.

Ответ: $\{-3\} \cup [2, 8]$.