Номер 932, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 932, страница 253.

Условие.

932. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $y \le 2x + 1$;

б) $y \le 2x - x^2$;

в) $x^2 + y^2 < 9$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства $y \le 2x + 1$, сначала построим график граничной функции $y = 2x + 1$. Это уравнение задает прямую линию. Для ее построения найдем две точки:

1. При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.

2. При $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку $(1, 3)$.

Проведем через эти две точки прямую. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки на самой прямой являются частью решения, поэтому линию рисуем сплошной.

Далее нужно определить, какая из двух полуплоскостей, на которые прямая делит координатную плоскость, является решением. Неравенство $y \le 2x + 1$ означает, что для любого значения $x$ нас интересуют точки, у которых ордината $y$ меньше или равна значению $2x + 1$. Это соответствует области, расположенной ниже прямой $y = 2x + 1$.

Для проверки выберем контрольную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$0 \le 2 \cdot 0 + 1$

$0 \le 1$

Полученное неравенство верно, следовательно, полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, является искомым множеством решений. Это область под прямой, включая саму прямую.

Ответ: Множеством решений является полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 2x + 1$, включая саму прямую.

б) Чтобы изобразить множество решений неравенства $y \le 2x - x^2$, сначала построим график граничной функции $y = 2x - x^2$ (или $y = -x^2 + 2x$). Это уравнение задает параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$).

Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$

Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 1$ в уравнение:

$y_0 = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

Найдем точки пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $2x - x^2 = 0$:

$x(2 - x) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), сама парабола является частью решения, поэтому рисуем ее сплошной линией.

Неравенство $y \le 2x - x^2$ означает, что искомые точки должны лежать на параболе или ниже ее. Так как ветви параболы направлены вниз, это будет область "внутри" параболы.

Для проверки выберем контрольную точку, например, $(1, 0)$, которая находится внутри параболы. Подставим ее в неравенство:

$0 \le 2(1) - (1)^2$

$0 \le 1$

Неравенство верно, значит, область внутри параболы является решением.

Ответ: Множеством решений является область, ограниченная параболой $y = 2x - x^2$ снизу, включая саму параболу.

в) Чтобы изобразить множество решений неравенства $x^2 + y^2 < 9$, рассмотрим граничное уравнение $x^2 + y^2 = 9$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Поскольку неравенство строгое ($<$), точки на самой окружности не являются частью решения. Поэтому окружность следует изобразить пунктирной (прерывистой) линией.

Неравенство $x^2 + y^2 < 9$ означает, что расстояние от любой точки $(x, y)$ из множества решений до центра окружности $(0, 0)$ должно быть меньше радиуса 3. Это условие выполняется для всех точек, лежащих внутри окружности.

Для проверки выберем контрольную точку, например, центр окружности $(0, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство:

$0^2 + 0^2 < 9$

$0 < 9$

Неравенство верно. Следовательно, искомое множество решений — это вся область внутри окружности.

Ответ: Множеством решений является внутренность круга с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 3. Граница круга (окружность) в решение не входит.