Номер 936, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 936, страница 254.

Условие.

936. Решите уравнение $(a^2 - 1)x = a - 1$ относительно переменной $x$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Данное уравнение $(a^2 - 1)x = a - 1$ является линейным уравнением относительно переменной $x$ с параметром $a$. Чтобы его решить, необходимо рассмотреть различные значения параметра $a$, которые влияют на коэффициент при $x$.

Коэффициент при $x$ равен $a^2 - 1$. Разложим его на множители: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$. Решение уравнения зависит от того, равен ли этот коэффициент нулю.

1. Случай, когда коэффициент при $x$ не равен нулю: $a^2 - 1 \neq 0$

Это условие выполняется, если $a \neq 1$ и $a \neq -1$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $a^2 - 1$ для нахождения $x$:

$x = \frac{a - 1}{a^2 - 1}$

Используя разложение знаменателя на множители по формуле разности квадратов, получаем:

$x = \frac{a - 1}{(a - 1)(a + 1)}$

Так как по условию этого случая $a \neq 1$, то выражение $(a - 1)$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$x = \frac{1}{a + 1}$

2. Случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $a^2 - 1 = 0$

Это уравнение имеет два корня: $a = 1$ и $a = -1$. Рассмотрим каждый из этих подслучаев отдельно.

а) Если $a = 1$

Подставим значение $a=1$ в исходное уравнение:

$(1^2 - 1)x = 1 - 1$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство является верным для любого значения $x$. Следовательно, при $a = 1$ уравнение имеет бесконечно много решений, и $x$ может быть любым действительным числом.

б) Если $a = -1$

Подставим значение $a=-1$ в исходное уравнение:

$((-1)^2 - 1)x = -1 - 1$

$(1 - 1)x = -2$

$0 \cdot x = -2$

Это равенство является неверным, так как $0 \neq -2$. Следовательно, при $a = -1$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a = -1$, то уравнение не имеет корней; если $a \neq 1$ и $a \neq -1$, то $x = \frac{1}{a + 1}$.