Номер 941, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 941, страница 254.

Условие.

941. Решите неравенство:

а) $x^2 + \sqrt{x^2} < 0,75;$

б) $\frac{(x-1)^3(x+2)^4(x-5)}{(2x+1)(x-4)^2} \ge 0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Решим неравенство $x^2 + \sqrt{x^2} < 0,75$.
По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Также заметим, что $x^2 = |x|^2$. Подставим это в исходное неравенство:
$|x|^2 + |x| < 0,75$
Перенесем все в левую часть:
$|x|^2 + |x| - 0,75 < 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $t$:
$t^2 + t - 0,75 < 0$
Для решения найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + t - 0,75 = 0$. Представим $0,75$ как $\frac{3}{4}$:
$t^2 + t - \frac{3}{4} = 0$
Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4t^2 + 4t - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -1,5$
$t_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0,5$
Парабола $y = t^2 + t - 0,75$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + t - 0,75 < 0$ выполняется между корнями:
$-1,5 < t < 0,5$
Учитывая условие $t \ge 0$, получаем:
$0 \le t < 0,5$
Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = |x|$:
$0 \le |x| < 0,5$
Неравенство $|x| \ge 0$ верно для любого $x$. Остается решить $|x| < 0,5$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-0,5 < x < 0,5$
Ответ: $x \in (-0,5; 0,5)$.

б) Решим неравенство $\frac{(x-1)^3(x+2)^4(x-5)}{(2x+1)(x-4)^2} \ge 0$ методом интервалов.
Пусть $f(x) = \frac{(x-1)^3(x+2)^4(x-5)}{(2x+1)(x-4)^2}$.
1. Найдем нули числителя (точки, в которых выражение может равняться нулю):
$(x-1)^3 = 0 \implies x = 1$ (корень нечетной кратности 3)
$(x+2)^4 = 0 \implies x = -2$ (корень четной кратности 4)
$x-5 = 0 \implies x = 5$ (корень нечетной кратности 1)
Эти точки войдут в решение, если они не являются нулями знаменателя.
2. Найдем нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено):
$2x+1 = 0 \implies x = -0,5$ (корень нечетной кратности 1)
$(x-4)^2 = 0 \implies x = 4$ (корень четной кратности 2)
Эти точки должны быть исключены из решения (выколоты на числовой оси).
3. Отметим все найденные точки на числовой оси в порядке возрастания: -2, -0,5, 1, 4, 5.
Точки $x=1, x=-2, x=5$ будут закрашенными (включены в решение), а точки $x=-0,5, x=4$ - выколотыми (исключены из решения).
4. Определим знак функции $f(x)$ в каждом из полученных интервалов.
Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(5; +\infty)$, например $x=10$:
$f(10) = \frac{(10-1)^3(10+2)^4(10-5)}{(2 \cdot 10+1)(10-4)^2} = \frac{(+)^3(+)^4(+)}{(+)(+)^2} > 0$.
Далее, двигаясь справа налево, будем менять знак при переходе через корень нечетной кратности и сохранять знак при переходе через корень четной кратности.
- Интервал $(5; +\infty)$: знак +.
- Переходим через $x=5$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(4; 5)$: знак -.
- Переходим через $x=4$ (четная кратность): знак не меняется. Интервал $(1; 4)$: знак -.
- Переходим через $x=1$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-0,5; 1)$: знак +.
- Переходим через $x=-0,5$ (нечетная кратность): знак меняется. Интервал $(-2; -0,5)$: знак -.
- Переходим через $x=-2$ (четная кратность): знак не меняется. Интервал $(-\infty; -2)$: знак -.
5. Выберем интервалы, удовлетворяющие условию $f(x) \ge 0$.
Нам нужны интервалы со знаком "+" и точки, где $f(x)=0$.
- Интервалы со знаком "+": $(-0,5; 1)$ и $(5; +\infty)$.
- Точки, где $f(x)=0$: $x=-2$, $x=1$, $x=5$.
- Точки $x=-0,5$ и $x=4$ исключаем.
Объединяем полученные результаты:
- Интервал $(-0,5; 1)$ дополняем точкой $x=1$, получаем $(-0,5; 1]$.
- Интервал $(5; +\infty)$ дополняем точкой $x=5$, получаем $[5; +\infty)$.
- Не забываем про изолированную точку $x=-2$.
Итоговое решение: $\{-2\} \cup (-0,5; 1] \cup [5; +\infty)$.
Ответ: $x \in \{-2\} \cup (-0,5; 1] \cup [5; +\infty)$.