Номер 945, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 945, страница 255.

Условие.

945. Изобразите на координатной плоскости множество решений си-

стемы неравенств:

а)

$\begin{cases} x^2 - y^2 \ge 0, \\ |x| \le 2; \end{cases}$

б)

$\begin{cases} y > \frac{4}{x}, \\ x^2 + y^2 \le 25. \end{cases}$

Уровень C

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 \ge 0, \\ |x| \le 2. \end{cases} $$

1. Проанализируем первое неравенство: $x^2 - y^2 \ge 0$.

Его можно преобразовать, разложив на множители: $(x-y)(x+y) \ge 0$.

Границами области, заданной этим неравенством, являются прямые $x-y=0$ и $x+y=0$, то есть прямые $y=x$ и $y=-x$. Эти две прямые, проходящие через начало координат, делят плоскость на четыре части.

Неравенство $x^2 \ge y^2$ равносильно неравенству $|x| \ge |y|$. Решением является объединение двух областей, заключенных между прямыми $y=x$ и $y=-x$, которые содержат ось абсцисс (Ох). В этих областях для любой точки $(x,y)$ выполняется условие, что абсолютное значение ее ординаты не превышает абсолютного значения абсциссы.

2. Проанализируем второе неравенство: $|x| \le 2$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-2 \le x \le 2$. Оно задает на координатной плоскости вертикальную полосу, ограниченную прямыми $x=-2$ и $x=2$. Границы полосы (сами прямые) включены в множество решений.

3. Множество решений системы является пересечением (общей частью) множеств решений обоих неравенств.

Искомое множество точек — это та часть области $|y| \le |x|$, которая заключена в полосе $-2 \le x \le 2$.

Геометрически это фигура, похожая на песочные часы или бабочку, состоящая из двух треугольников с общей вершиной в начале координат. Вершины первого треугольника находятся в точках $(0,0)$, $(2,2)$ и $(2,-2)$. Вершины второго треугольника — в точках $(0,0)$, $(-2,-2)$ и $(-2,2)$. Все границы фигуры включены в множество решений.

Ответ: Множество решений представляет собой фигуру, образованную двумя треугольниками с общей вершиной в точке $(0,0)$. Один треугольник ограничен отрезками прямых $x=2$, $y=x$ и $y=-x$. Второй треугольник ограничен отрезками прямых $x=-2$, $y=x$ и $y=-x$. Все точки на границах этих треугольников являются решениями системы.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} y > \frac{4}{x}, \\ x^2 + y^2 \le 25. \end{cases} $$

1. Проанализируем первое неравенство: $y > \frac{4}{x}$.

Область определения этого неравенства — все точки плоскости, для которых $x \ne 0$. Границей области является гипербола $y = \frac{4}{x}$, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Поскольку неравенство строгое, сама гипербола не входит в множество решений и на графике изображается пунктирной линией.

Рассмотрим два случая:
- Если $x > 0$, неравенство имеет вид $y > \frac{4}{x}$. Это область в первом квадранте, расположенная выше соответствующей ветви гиперболы.
- Если $x < 0$, при умножении на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется: $xy < 4$. Этому условию удовлетворяют все точки второго квадранта (где произведение $xy$ отрицательно) и та часть третьего квадранта (где $xy$ положительно), которая лежит выше ветви гиперболы $y=4/x$.
Таким образом, множество решений первого неравенства — это все точки координатной плоскости, лежащие выше графика функции $y = \frac{4}{x}$.

2. Проанализируем второе неравенство: $x^2 + y^2 \le 25$.

Это неравенство задает круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{25}=5$. Поскольку неравенство нестрогое, точки на границе круга (окружности $x^2 + y^2 = 25$) входят в множество решений.

3. Множество решений системы является пересечением множеств решений каждого из неравенств.

Это та часть круга $x^2 + y^2 \le 25$, которая одновременно удовлетворяет условию $y > \frac{4}{x}$. То есть, мы ищем все точки внутри или на окружности радиуса 5, которые находятся выше ветвей гиперболы $y = \frac{4}{x}$.

Искомая фигура — это круг радиуса 5 с центром в начале координат, из которого исключены две области: область в первом квадранте, лежащая под ветвью гиперболы, и область в третьем квадранте, также лежащая под соответствующей ветвью гиперболы. Граница фигуры, являющаяся частью окружности, сплошная, а граница, являющаяся частью гиперболы, — пунктирная.

Ответ: Множество решений — это область, находящаяся внутри или на окружности $x^2 + y^2 = 25$ и одновременно выше ветвей гиперболы $y = \frac{4}{x}$. Визуально это круг радиуса 5 с центром в (0,0), из которого "вырезаны" две области, ограниченные снизу ветвями гиперболы в первой и третьей координатных четвертях.