Номер 947, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 947, страница 255.

Условие.

947. Составьте приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен:

а) $4 + \sqrt{3}$;

б) $3 - \sqrt{5}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы составить приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами, зная один из его иррациональных корней, можно воспользоваться свойством сопряженных корней и теоремой Виета.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$. Если его коэффициенты $p$ и $q$ являются целыми числами, а один из корней равен $a + \sqrt{b}$ (где $\sqrt{b}$ — иррациональное число), то второй корень обязательно будет сопряженным ему числом, то есть $a - \sqrt{b}$.

По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

а) Один из корней равен $4 + \sqrt{3}$.

Пусть $x_1 = 4 + \sqrt{3}$. Так как коэффициенты уравнения должны быть целыми, второй корень $x_2$ будет сопряженным к первому: $x_2 = 4 - \sqrt{3}$.
Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = (4 + \sqrt{3}) + (4 - \sqrt{3}) = 8$.
Следовательно, коэффициент $p = -(x_1 + x_2) = -8$.
Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = (4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13$.
Следовательно, коэффициент $q = x_1 \cdot x_2 = 13$.
Подставляем найденные значения $p = -8$ и $q = 13$ в вид приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.
Получаем уравнение: $x^2 - 8x + 13 = 0$.
Ответ: $x^2 - 8x + 13 = 0$.

б) Один из корней равен $3 - \sqrt{5}$.

Пусть $x_1 = 3 - \sqrt{5}$. Второй корень $x_2$ будет сопряженным к первому: $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.
Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{5}) + (3 + \sqrt{5}) = 6$.
Следовательно, коэффициент $p = -(x_1 + x_2) = -6$.
Найдем произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.
Следовательно, коэффициент $q = x_1 \cdot x_2 = 4$.
Подставляем найденные значения $p = -6$ и $q = 4$ в вид приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.
Получаем уравнение: $x^2 - 6x + 4 = 0$.
Ответ: $x^2 - 6x + 4 = 0$.