Номер 954, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 954, страница 256.

Условие.

954. Найдите площадь фигуры, координаты всех точек которой являются решениями системы неравенств $\begin{cases} |x| + |y| \le 4, \\ |y| \le 2. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи необходимо найти площадь фигуры, заданной системой неравенств. Рассмотрим каждое неравенство по отдельности, чтобы определить границы фигуры на координатной плоскости.

Первое неравенство: $|x| + |y| \le 4$.

Это неравенство описывает квадрат (или ромб, если оси координат не повернуты), с центром в начале координат. Границей этой фигуры является уравнение $|x| + |y| = 4$. Раскроем модули для каждого квадранта:

• В I квадранте ($x \ge 0, y \ge 0$): $x + y = 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки (4, 0) и (0, 4).
• Во II квадранте ($x \le 0, y \ge 0$): $-x + y = 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки (0, 4) и (-4, 0).
• В III квадранте ($x \le 0, y \le 0$): $-x - y = 4$, или $x + y = -4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки (-4, 0) и (0, -4).
• В IV квадранте ($x \ge 0, y \le 0$): $x - y = 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки (0, -4) и (4, 0).

Вершины этого квадрата находятся в точках (4, 0), (0, 4), (-4, 0) и (0, -4). Площадь квадрата можно найти как половину произведения его диагоналей. Длины диагоналей равны расстоянию между вершинами на осях: $d_1 = 4 - (-4) = 8$ и $d_2 = 4 - (-4) = 8$.

Площадь квадрата $S_1 = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$.

Второе неравенство: $|y| \le 2$.

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-2 \le y \le 2$. Оно задает на плоскости горизонтальную полосу, ограниченную прямыми $y = 2$ и $y = -2$.

Искомая фигура является пересечением квадрата $|x| + |y| \le 4$ и полосы $-2 \le y \le 2$. Это означает, что мы должны "отсечь" от квадрата части, которые лежат выше прямой $y=2$ и ниже прямой $y=-2$.

Часть, отсекаемая сверху (при $y > 2$), представляет собой треугольник. Найдем его вершины. Две вершины лежат на прямой $y=2$. Подставим $y=2$ в уравнение границы квадрата $|x| + |2| = 4$, откуда $|x| = 2$, то есть $x = 2$ и $x = -2$. Таким образом, две вершины — это (2, 2) и (-2, 2). Третья вершина — это вершина исходного квадрата (0, 4).

Площадь этого верхнего треугольника: основание равно $2 - (-2) = 4$, высота равна $4 - 2 = 2$.$S_{верх} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$.

Аналогично, часть, отсекаемая снизу (при $y < -2$), также является треугольником. Его вершины: (2, -2), (-2, -2) и (0, -4).

Площадь нижнего треугольника: основание равно $2 - (-2) = 4$, высота равна $|-4 - (-2)| = 2$.$S_{нижн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$.

Площадь искомой фигуры (которая является шестиугольником) равна площади исходного квадрата минус площади двух отсеченных треугольников.

$S = S_1 - S_{верх} - S_{нижн} = 32 - 4 - 4 = 24$.

Ответ: 24