Номер 961, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 961, страница 257.

Условие.

961. Найдите седьмой член арифметической прогрессии $(a_n)$, если известно, что $3a_3 + 4a_{10} = 140$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $(a_n)$ — данная арифметическая прогрессия, а $d$ — её разность.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии.

Используя эту формулу, выразим члены $a_3$ и $a_{10}$, которые даны в условии:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Теперь подставим эти выражения в данное равенство $3a_3 + 4a_{10} = 140$:

$3(a_1 + 2d) + 4(a_1 + 9d) = 140$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение, приведя подобные слагаемые:

$3a_1 + 6d + 4a_1 + 36d = 140$

$(3a_1 + 4a_1) + (6d + 36d) = 140$

$7a_1 + 42d = 140$

В левой части уравнения вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7(a_1 + 6d) = 140$

Нам необходимо найти седьмой член прогрессии, $a_7$. Запишем для него формулу:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

Сравнивая это выражение с полученным уравнением, видим, что выражение в скобках $a_1 + 6d$ и есть искомый седьмой член $a_7$.

Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

$7a_7 = 140$

Отсюда находим $a_7$:

$a_7 = \frac{140}{7} = 20$

Ответ: 20.