Номер 962, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 962, страница 257.

Условие.

962. При каком значении переменной x числа $x + 8$, $x + 2$, $3x - 2$ будут последовательными членами:

а) арифметической прогрессии;

б) геометрической прогрессии?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) арифметической прогрессии

Чтобы три числа $a_1, a_2, a_3$ были последовательными членами арифметической прогрессии, должно выполняться характеристическое свойство: каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Для трех членов это свойство можно записать в виде $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$ или, что то же самое, $2a_2 = a_1 + a_3$.

В нашем случае даны числа $x + 8$, $x + 2$ и $3x - 2$. Примем их за последовательные члены арифметической прогрессии:

$a_1 = x + 8$

$a_2 = x + 2$

$a_3 = 3x - 2$

Подставим эти выражения в формулу $2a_2 = a_1 + a_3$:

$2(x + 2) = (x + 8) + (3x - 2)$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$2x + 4 = x + 3x + 8 - 2$

$2x + 4 = 4x + 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$4 - 6 = 4x - 2x$

$-2 = 2x$

$x = -1$

Проверим полученный результат. Если $x = -1$, то наши числа равны:

$a_1 = -1 + 8 = 7$

$a_2 = -1 + 2 = 1$

$a_3 = 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5$

Получилась последовательность 7, 1, -5. Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 1 - 7 = -6$. Проверим для следующей пары: $a_3 - a_2 = -5 - 1 = -6$. Разность постоянна, следовательно, это действительно арифметическая прогрессия.

Ответ: $x = -1$.

б) геометрической прогрессии

Чтобы три числа $b_1, b_2, b_3$ были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению соседних с ним членов. Это свойство записывается как $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

В нашем случае числа те же: $x + 8$, $x + 2$ и $3x - 2$. Примем их за последовательные члены геометрической прогрессии:

$b_1 = x + 8$

$b_2 = x + 2$

$b_3 = 3x - 2$

Подставим эти выражения в формулу $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$:

$(x + 2)^2 = (x + 8)(3x - 2)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 - 2x + 24x - 16$

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 22x - 16$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = 3x^2 - x^2 + 22x - 4x - 16 - 4$

$0 = 2x^2 + 18x - 20$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$x^2 + 9x - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-9$, а их произведение равно $-10$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -10$.

Также можно решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 11}{2}$

$x_1 = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Мы получили два возможных значения для $x$. Проверим каждое из них.

1. При $x = 1$ получаем числа:

$b_1 = 1 + 8 = 9$

$b_2 = 1 + 2 = 3$

$b_3 = 3(1) - 2 = 1$

Последовательность 9, 3, 1. Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Проверим для следующей пары: $\frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{3}$. Знаменатель постоянен, это геометрическая прогрессия.

2. При $x = -10$ получаем числа:

$b_1 = -10 + 8 = -2$

$b_2 = -10 + 2 = -8$

$b_3 = 3(-10) - 2 = -30 - 2 = -32$

Последовательность -2, -8, -32. Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-8}{-2} = 4$. Проверим для следующей пары: $\frac{b_3}{b_2} = \frac{-32}{-8} = 4$. Знаменатель постоянен, это также геометрическая прогрессия.

Ответ: $x = 1$ или $x = -10$.