Номер 957, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 957, страница 256.

Условие.

957. Составьте формулу $n$-го члена для каждой из последовательностей, полученной при решении задачи 956. Являются ли эти последовательности арифметическими прогрессиями?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения данной задачи необходимо для каждой последовательности из задачи 956 указать формулу ее n-го члена и проверить, является ли она арифметической прогрессией. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом $d$ (разностью прогрессии). Таким образом, для арифметической прогрессии должно выполняться условие $a_{n+1} - a_n = d$, где $d$ — константа.

а)

Формула n-го члена последовательности: $a_n = 2n + 3$.

Для проверки найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:

$a_{n+1} = 2(n+1) + 3 = 2n + 2 + 3 = 2n + 5$.

Тогда разность $a_{n+1} - a_n = (2n + 5) - (2n + 3) = 2$.

Так как разность является постоянным числом, не зависящим от $n$, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=2$.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = 2n + 3$. Последовательность является арифметической прогрессией.

б)

Формула n-го члена последовательности: $a_n = 1 + n^2$.

Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:

$a_{n+1} = 1 + (n+1)^2 = 1 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + 2n + 2$.

Тогда разность $a_{n+1} - a_n = (n^2 + 2n + 2) - (1 + n^2) = 2n + 1$.

Разность $2n + 1$ зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Например, $a_2 - a_1 = 2(1) + 1 = 3$, а $a_3 - a_2 = 2(2) + 1 = 5$. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = 1 + n^2$. Последовательность не является арифметической прогрессией.

в)

Формула n-го члена последовательности: $a_n = n(n-1) = n^2 - n$.

Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:

$a_{n+1} = (n+1)((n+1)-1) = (n+1)n = n^2 + n$.

Тогда разность $a_{n+1} - a_n = (n^2 + n) - (n^2 - n) = 2n$.

Разность $2n$ зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Например, $a_2 - a_1 = 2(1) = 2$, а $a_3 - a_2 = 2(2) = 4$. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = n(n-1)$. Последовательность не является арифметической прогрессией.

г)

Формула n-го члена последовательности: $a_n = (-1)^n \cdot 2$.

Вычислим несколько первых членов: $a_1 = (-1)^1 \cdot 2 = -2$, $a_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 2$, $a_3 = (-1)^3 \cdot 2 = -2$.

Найдем разности между соседними членами:

$a_2 - a_1 = 2 - (-2) = 4$.

$a_3 - a_2 = -2 - 2 = -4$.

Так как $4 \neq -4$, разность не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = (-1)^n \cdot 2$. Последовательность не является арифметической прогрессией.

д)

Формула n-го члена последовательности: $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$.

Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:

$a_{n+1} = 5 \cdot 3^{(n+1)-1} = 5 \cdot 3^n$.

Тогда разность $a_{n+1} - a_n = 5 \cdot 3^n - 5 \cdot 3^{n-1} = 5 \cdot 3^{n-1}(3-1) = 10 \cdot 3^{n-1}$.

Разность $10 \cdot 3^{n-1}$ зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Например, $a_2 - a_1 = 10 \cdot 3^0 = 10$, а $a_3 - a_2 = 10 \cdot 3^1 = 30$. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$. Последовательность не является арифметической прогрессией.

е)

Формула n-го члена последовательности: $a_n = \frac{1}{n+1}$.

Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:

$a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)+1} = \frac{1}{n+2}$.

Тогда разность $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1) - 1 \cdot (n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n+1-n-2}{(n+2)(n+1)} = \frac{-1}{(n+1)(n+2)}$.

Разность зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Например, $a_2 - a_1 = \frac{-1}{(1+1)(1+2)} = -\frac{1}{6}$, а $a_3 - a_2 = \frac{-1}{(2+1)(2+2)} = -\frac{1}{12}$. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Формула n-го члена: $a_n = \frac{1}{n+1}$. Последовательность не является арифметической прогрессией.