Номер 952, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 952, страница 256.

Условие.

952. При каких значениях $a$ система уравнений:

а) $\begin{cases} y + x^2 = a, \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases}$, имеет 3 решения;

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |x| + |y| = 2 \end{cases}$ имеет 4 решенияния?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y + x^2 = a, \\ x^2 + y^2 = 9. \end{cases} $

Первое уравнение, $y = a - x^2$, задает параболу с вершиной в точке $(0, a)$, ветви которой направлены вниз. Второе уравнение, $x^2 + y^2 = 9$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=3$.

Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков этих двух функций. Нам необходимо найти значение параметра $a$, при котором система имеет ровно 3 решения.

Поскольку и парабола, и окружность симметричны относительно оси OY, точки пересечения (кроме точек на оси симметрии) появляются парами. Нечетное число решений (три) возможно только в том случае, если одна из точек пересечения лежит на оси симметрии, то есть при $x=0$.

Подставим $x=0$ в систему уравнений:

$ \begin{cases} y + 0^2 = a, \\ 0^2 + y^2 = 9. \end{cases} $

Из второго уравнения находим $y = \pm 3$. Из первого уравнения $y = a$. Следовательно, для существования решения с $x=0$ необходимо, чтобы $a=3$ или $a=-3$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a=3$

Система принимает вид:

$ \begin{cases} y + x^2 = 3, \\ x^2 + y^2 = 9. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x^2 = 3 - y$. Подставим во второе:

$(3 - y) + y^2 = 9$

$y^2 - y - 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Если $y=3$, то $x^2 = 3 - 3 = 0$, откуда $x=0$. Получаем одно решение: $(0, 3)$.

Если $y=-2$, то $x^2 = 3 - (-2) = 5$, откуда $x = \pm\sqrt{5}$. Получаем два решения: $(\sqrt{5}, -2)$ и $(-\sqrt{5}, -2)$.

Всего получаем $1 + 2 = 3$ решения. Значит, $a=3$ является решением задачи.

Случай 2: $a=-3$

Система принимает вид:

$ \begin{cases} y + x^2 = -3, \\ x^2 + y^2 = 9. \end{cases} $

Из первого уравнения $x^2 = -3 - y$. Подставим во второе:

$(-3 - y) + y^2 = 9$

$y^2 - y - 12 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -3$.

Если $y=4$, то $x^2 = -3 - 4 = -7$. В этом случае действительных корней для $x$ нет.

Если $y=-3$, то $x^2 = -3 - (-3) = 0$, откуда $x=0$. Получаем одно решение: $(0, -3)$.

Всего получаем 1 решение. Значит, $a=-3$ не подходит.

Таким образом, система имеет 3 решения только при $a=3$.

Ответ: $a=3$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |x| + |y| = 2. \end{cases} $

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = a$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{a}$. Окружность существует только при $a > 0$.

Второе уравнение, $|x| + |y| = 2$, задает квадрат с вершинами в точках $(2, 0)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.

Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и квадрата. Проанализируем их взаимное расположение в зависимости от радиуса окружности $R = \sqrt{a}$.

1. Найдем радиус окружности, вписанной в этот квадрат. Эта окружность будет касаться сторон квадрата. Расстояние от центра координат $(0, 0)$ до любой из сторон (например, до прямой $x+y=2$ в первом квадранте) равно $d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Таким образом, радиус вписанной окружности $R_{впис} = \sqrt{2}$. В этом случае $a = R^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. Окружность касается квадрата в четырех точках: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$ и $(1, -1)$. Система имеет 4 решения. Следовательно, $a=2$ нам подходит.

2. Найдем радиус окружности, описанной около этого квадрата. Эта окружность будет проходить через вершины квадрата. Расстояние от центра координат до любой из вершин (например, до $(2, 0)$) равно 2.

Таким образом, радиус описанной окружности $R_{опис} = 2$. В этом случае $a = R^2 = 2^2 = 4$. Окружность пересекает квадрат в его четырех вершинах. Система имеет 4 решения. Следовательно, $a=4$ нам подходит.

3. Рассмотрим другие значения $a$.

- Если $0 < a < 2$, то $0 < R < \sqrt{2}$. Окружность полностью лежит внутри квадрата и не имеет с ним общих точек. 0 решений.

- Если $2 < a < 4$, то $\sqrt{2} < R < 2$. Окружность пересекает каждую из четырех сторон квадрата в двух точках. Всего $4 \times 2 = 8$ решений.

- Если $a > 4$, то $R > 2$. Квадрат полностью лежит внутри окружности, и общих точек нет. 0 решений.

Таким образом, система имеет 4 решения только в двух случаях: когда окружность вписана в квадрат или описана около него.

Ответ: $a=2; a=4$.