Номер 948, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 948, страница 255.

Условие.

948. Решите уравнение $x^2 + 4x + c = 0$, если сумма квадратов его корней равна 10.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано квадратное уравнение $x^2 + 4x + c = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи известно, что сумма квадратов корней равна 10, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 10$.

Для нахождения неизвестного коэффициента $c$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения (где коэффициент при $x^2$ равен 1) теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$.

Теперь выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Используем известное алгебраическое тождество (квадрат суммы):

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Отсюда можно выразить искомую сумму квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это тождество значения из условия задачи и теоремы Виета:

$10 = (-4)^2 - 2 \cdot c$

Решим полученное линейное уравнение относительно $c$:

$10 = 16 - 2c$

$2c = 16 - 10$

$2c = 6$

$c = 3$

Теперь, когда значение $c$ найдено, мы можем записать и решить исходное уравнение, подставив в него $c=3$:

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые вычисляются по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2}$

Вычисляем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

В качестве проверки убедимся, что сумма квадратов найденных корней действительно равна 10:

$(-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$.

Условие выполняется, следовательно, уравнение решено верно.

Ответ: $-3; -1$.