Номер 951, страница 255 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 951, страница 255.

Условие.

951. На реке, скорость течения которой 5 км/ч, расположены по направлению ее течения пристани $A$, $B$, $C$, причем $B$ – середина $AC$. От пристани $B$ одновременно отплывают плот к пристани $C$ и катер к пристани $A$. Известно, что собственная скорость катера $v$ км/ч. Дойдя до пристани $A$, катер развернулся и стал двигаться к пристани $C$. Найдите значения $v$, при которых катер прибудет к пристани $C$ позже, чем плот.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $v_{теч}$ — скорость течения реки, а $v$ — собственная скорость катера. По условию, $v_{теч} = 5$ км/ч. Пристани A, B, C расположены по течению реки, причем B является серединой отрезка AC. Обозначим расстояние от A до B через $S$ км. Тогда расстояние от B до C также равно $S$ км, а полное расстояние от A до C составляет $2S$ км.

1. Определим время движения плота.

Плот отправляется от пристани B к пристани C. Плот движется со скоростью течения реки.Скорость плота: $v_{плот} = v_{теч} = 5$ км/ч.Расстояние: $S_{BC} = S$ км.Время движения плота: $t_{плот} = \frac{S}{v_{плот}} = \frac{S}{5}$ ч.

2. Определим время движения катера.

Катер движется от пристани B к пристани A (против течения), а затем от пристани A к пристани C (по течению).

Участок B → A (против течения):Скорость катера против течения: $v_{против} = v - v_{теч} = v - 5$ км/ч.Важное условие: для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, т.е. $v > 5$.Расстояние: $S_{BA} = S$ км.Время движения от B до A: $t_{B \to A} = \frac{S}{v - 5}$ ч.

Участок A → C (по течению):Скорость катера по течению: $v_{по} = v + v_{теч} = v + 5$ км/ч.Расстояние: $S_{AC} = 2S$ км.Время движения от A до C: $t_{A \to C} = \frac{2S}{v + 5}$ ч.

Общее время движения катера:$t_{катер} = t_{B \to A} + t_{A \to C} = \frac{S}{v - 5} + \frac{2S}{v + 5}$ ч.

3. Составим и решим неравенство.

По условию задачи, катер должен прибыть в C позже, чем плот. Это означает, что время движения катера должно быть больше времени движения плота:$t_{катер} > t_{плот}$$\frac{S}{v - 5} + \frac{2S}{v + 5} > \frac{S}{5}$

Поскольку расстояние $S$ является положительной величиной ($S > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $S$:$\frac{1}{v - 5} + \frac{2}{v + 5} > \frac{1}{5}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$\frac{(v + 5) + 2(v - 5)}{(v - 5)(v + 5)} > \frac{1}{5}$$\frac{v + 5 + 2v - 10}{v^2 - 25} > \frac{1}{5}$$\frac{3v - 5}{v^2 - 25} > \frac{1}{5}$

Учитывая наше ограничение $v > 5$, знаменатель $v^2 - 25$ всегда будет положительным. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $5(v^2 - 25)$, сохранив знак неравенства:$5(3v - 5) > 1(v^2 - 25)$$15v - 25 > v^2 - 25$$15v > v^2$

Перенесем все члены в правую часть и запишем неравенство:$v^2 - 15v < 0$$v(v - 15) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал $0 < v < 15$.

4. Найдем итоговый интервал для $v$.

Мы имеем два условия для скорости катера $v$:1. $v > 5$ (условие возможности движения против течения).2. $0 < v < 15$ (решение неравенства $t_{катер} > t_{плот}$).

Найдем пересечение этих двух условий:$\begin{cases} v > 5 \\ 0 < v < 15 \end{cases}$Общим решением является интервал $5 < v < 15$.

Ответ: Катер прибудет к пристани С позже, чем плот, при значениях собственной скорости $v$ в интервале от 5 км/ч до 15 км/ч, то есть $5 < v < 15$.