Номер 958, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 958, страница 256.

Условие.

958. Последовательность ($c_n$) задана формулой $c_n = 3^n$. Установите,

верно ли равенство $c_{n+1} + c_{n+2} = 12c_n$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы проверить, является ли равенство $c_{n+1} + c_{n+2} = 12c_n$ верным, необходимо подставить в него формулу n-го члена последовательности $c_n = 3^n$.

Сначала выразим члены последовательности $c_{n+1}$ и $c_{n+2}$ через $n$ по заданной формуле:

$c_{n+1} = 3^{n+1}$

$c_{n+2} = 3^{n+2}$

Теперь подставим эти выражения в левую часть проверяемого равенства и выполним преобразования. Используем свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$:

$c_{n+1} + c_{n+2} = 3^{n+1} + 3^{n+2}$

Вынесем за скобки общий множитель. Наименьшая степень у числа 3 это $n$, поэтому вынесем $3^n$:

$3^{n+1} + 3^{n+2} = 3^n \cdot 3^1 + 3^n \cdot 3^2 = 3^n(3 + 9) = 12 \cdot 3^n$

Теперь рассмотрим правую часть равенства, $12c_n$. Подставим в нее выражение для $c_n$:

$12c_n = 12 \cdot 3^n$

Сравнивая результаты, полученные для левой и правой частей равенства, видим, что они тождественно равны:

$12 \cdot 3^n = 12 \cdot 3^n$

Это означает, что исходное равенство верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: да, равенство верно.