Номер 953, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 953, страница 256.

Условие.

953. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 12, \\ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + xy = 5, \\ x^2 + y^2 + xy = 7. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Исходная система уравнений:$\begin{cases} x + y = 12, \\\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18.\end{cases}$

Область допустимых значений: $x \ne 0$ и $y \ne 0$.Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:$\frac{x^3 + y^3}{xy} = 18$$x^3 + y^3 = 18xy$

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:$(x+y)(x^2 - xy + y^2) = 18xy$

Из первого уравнения системы известно, что $x+y=12$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:$12(x^2 - xy + y^2) = 18xy$Разделим обе части уравнения на 6:$2(x^2 - xy + y^2) = 3xy$$2x^2 - 2xy + 2y^2 = 3xy$$2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Так как $y \ne 0$, разделим обе части на $y^2$:$2(\frac{x}{y})^2 - 5(\frac{x}{y}) + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:$2t^2 - 5t + 2 = 0$Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.Корни уравнения:$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.Подставим в первое уравнение системы $x+y=12$:$2y + y = 12$$3y = 12$$y = 4$Тогда $x = 2 \cdot 4 = 8$.Получили первую пару решений: $(8, 4)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$.Подставим в первое уравнение системы $x+y=12$:$x + 2x = 12$$3x = 12$$x = 4$Тогда $y = 2 \cdot 4 = 8$.Получили вторую пару решений: $(4, 8)$.

Ответ: $(8, 4), (4, 8)$.

б)

Исходная система уравнений:$\begin{cases} x + y + xy = 5, \\x^2 + y^2 + xy = 7.\end{cases}$

Эта система является симметрической. Введем новые переменные (основные симметрические многочлены):$u = x+y$$v = xy$

Выразим уравнения системы через $u$ и $v$.Первое уравнение:$u + v = 5$

Для второго уравнения выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$:$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$Подставим это во второе уравнение исходной системы:$(u^2 - 2v) + v = 7$$u^2 - v = 7$

Получим систему уравнений относительно $u$ и $v$:$\begin{cases} u + v = 5, \\u^2 - v = 7.\end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $v$:$(u+v) + (u^2-v) = 5+7$$u^2 + u = 12$$u^2 + u - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета:$u_1 = 3$$u_2 = -4$

Найдем соответствующие значения $v$ для каждого корня.

Случай 1: $u = 3$.Из уравнения $u+v=5$ находим $v$:$3 + v = 5$$v = 2$Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:$\begin{cases} x+y = 3, \\xy = 2.\end{cases}$По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.Следовательно, решениями являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Случай 2: $u = -4$.Из уравнения $u+v=5$ находим $v$:$-4 + v = 5$$v = 9$Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:$\begin{cases} x+y = -4, \\xy = 9.\end{cases}$$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-4)t + 9 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 9 = 0$.Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.