Номер 960, страница 256 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 960, страница 256.

Условие.

960. Сколько положительных членов имеет последовательность ($y_n$), заданная формулой $y_n = -n^2 - 2n + 3$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы определить количество положительных членов последовательности $(y_n)$, необходимо найти, для каких натуральных номеров $n$ (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$) выполняется неравенство $y_n > 0$.
Составим и решим это неравенство:
$y_n = -n^2 - 2n + 3 > 0$
Для удобства решения умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$n^2 + 2n - 3 < 0$
Теперь рассмотрим квадратичную функцию $f(n) = n^2 + 2n - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут отрицательными между ее корнями. Найдем корни, решив уравнение $n^2 + 2n - 3 = 0$.
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$
$n_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$
$n_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$
Таким образом, неравенство $n^2 + 2n - 3 < 0$ выполняется для всех $n$, находящихся в интервале между корнями, то есть $-3 < n < 1$.
По условию задачи, $n$ — это номер члена последовательности, следовательно, $n$ должно быть натуральным числом. Нам нужно найти, сколько натуральных чисел принадлежит интервалу $(-3; 1)$.
Натуральные числа — это $1, 2, 3, \dots$. В интервале $(-3; 1)$ нет ни одного натурального числа.
Проверим граничное значение $n=1$.
$y_1 = -1^2 - 2(1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$.
Поскольку $y_1 = 0$, первый член последовательности не является положительным. Для всех $n > 1$ значения $y_n$ будут отрицательными, так как функция $y(n) = -n^2 - 2n + 3$ представляет собой параболу с ветвями вниз, достигающую максимума при $n = -1$ и убывающую при $n > -1$.
Следовательно, в данной последовательности нет ни одного положительного члена.
Ответ: 0