Номер 964, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 964, страница 257.

Условие.

964. Специалист за несколько дней заработал 50000 тенге. В первый день – 9000 тенге, а в каждый следующий на 50 тенге больше. За сколько дней он заработал эту сумму?

Решение.

Решение 2 (rus).

Заработок специалиста по дням представляет собой арифметическую прогрессию. Обозначим её параметры:
$a_1$ — заработок за первый день, равный 9000 тенге.
$d$ — разность прогрессии, то есть ежедневное увеличение заработка, равное 50 тенге.
$S_n$ — общая сумма, заработанная за $n$ дней, равная 50000 тенге.
Нам необходимо найти количество дней $n$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу:
$50000 = \frac{2 \cdot 9000 + 50(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Сначала умножим обе части на 2:
$100000 = (18000 + 50(n-1)) \cdot n$
$100000 = (18000 + 50n - 50) \cdot n$
$100000 = (17950 + 50n)n$
$100000 = 17950n + 50n^2$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $an^2 + bn + c = 0$:
$50n^2 + 17950n - 100000 = 0$

Для упрощения расчетов разделим все члены уравнения на 50:
$n^2 + 359n - 2000 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 359^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 128881 + 8000 = 136881$

Корни уравнения находятся по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-359 + \sqrt{136881}}{2} \approx \frac{-359 + 369.97}{2} \approx 5.485$
$n_2 = \frac{-359 - \sqrt{136881}}{2}$
Второй корень $n_2$ является отрицательным числом, поэтому он не может быть решением задачи, так как количество дней не может быть отрицательным.

Первый корень $n_1 \approx 5.485$ не является целым числом. Это означает, что для получения точной суммы в 50000 тенге требуется неполный рабочий день. Чтобы определить, на какой день будет заработана нужная сумма, рассчитаем заработок за 5 и 6 полных дней.

Сумма за 5 дней ($S_5$):
$S_5 = \frac{2 \cdot 9000 + 50(5-1)}{2} \cdot 5 = \frac{18000 + 200}{2} \cdot 5 = \frac{18200}{2} \cdot 5 = 9100 \cdot 5 = 45500$ тенге.
Эта сумма меньше требуемых 50000 тенге.

Сумма за 6 дней ($S_6$):
$S_6 = \frac{2 \cdot 9000 + 50(6-1)}{2} \cdot 6 = \frac{18000 + 250}{2} \cdot 6 = \frac{18250}{2} \cdot 6 = 18250 \cdot 3 = 54750$ тенге.
Эта сумма превышает 50000 тенге.

Так как по итогам 5 дней специалист еще не заработал 50000 тенге, а по итогам 6 дней он уже заработал больше этой суммы, то требуемая сумма была заработана в течение 6-го дня. Таким образом, ему потребовалось 6 дней.
Ответ: 6 дней.