Номер 971, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 971, страница 257.

Условие.

971. В геометрической прогрессии первый член положителен. При каком значении знаменателя прогрессии сумма первых трех членов будет наименьшей?

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а знаменатель прогрессии как $q$.

По условию задачи, первый член положителен, то есть $b_1 > 0$.

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии, $S_3$, определяется как: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2$.

Вынесем $b_1$ за скобки: $S_3 = b_1(1 + q + q^2)$.

Нам необходимо найти значение $q$, при котором сумма $S_3$ будет наименьшей. Для этого рассмотрим функцию $S_3(q) = b_1(q^2 + q + 1)$.

Поскольку $b_1$ является постоянным положительным множителем ($b_1 > 0$), то функция $S_3(q)$ достигает своего минимального значения в той же точке, что и функция $f(q) = q^2 + q + 1$.

Функция $f(q) = q^2 + q + 1$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $q^2$ равен 1 (положительное число). Следовательно, у этой функции есть точка минимума.

Минимум квадратичной функции $y = aq^2 + bq + c$ достигается в её вершине. Координата вершины по оси $q$ находится по формуле $q_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $f(q) = q^2 + q + 1$ коэффициенты равны $a=1$ и $b=1$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения вершины: $q = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, при $q = -\frac{1}{2}$ сумма первых трех членов геометрической прогрессии будет наименьшей.

Ответ: $-\frac{1}{2}$