Номер 976, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 976, страница 258.

Условие.

976. Периметр треугольника 36 см, причем длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли найти длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Решение.

Решение 2 (rus).

Можно ли найти длину хотя бы одной из сторон?

Пусть длины сторон треугольника $a_1, a_2, a_3$ образуют арифметическую прогрессию. Обозначим их как $a-d, a, a+d$, где $a$ – средний член прогрессии, а $d$ – ее разность. Упорядочим стороны по возрастанию длины.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон. По условию, периметр равен 36 см:

$P = (a-d) + a + (a+d) = 36$

Упростим выражение:

$3a = 36$

Отсюда находим значение $a$:

$a = \frac{36}{3} = 12$ см

Таким образом, мы можем однозначно найти длину одной из сторон. Эта сторона является средним по величине членом арифметической прогрессии, и ее длина равна 12 см.

Ответ: Да, можно. Длина одной из сторон равна 12 см.

Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Мы установили, что стороны треугольника можно представить в виде $12-d, 12, 12+d$. Чтобы эти длины могли образовывать треугольник, они должны удовлетворять двум условиям: быть положительными и соответствовать неравенству треугольника.

1. Условие положительности сторон.
Длина каждой стороны должна быть строго больше нуля. Так как $12 > 0$ и $12+d$ будет больше 12 (если считать $d \ge 0$), основное ограничение накладывается на самую короткую сторону:

$12 - d > 0$

$d < 12$

2. Неравенство треугольника.
Сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. Проверим это условие для наших сторон, считая $d \ge 0$ (чтобы $12-d$ была наименьшей стороной, а $12+d$ наибольшей):

Наиболее важное неравенство для проверки — это сумма двух меньших сторон больше третьей:

$(12-d) + 12 > 12+d$

$24-d > 12+d$

$12 > 2d$

$d < 6$

Два других неравенства, $(12-d) + (12+d) > 12 \implies 24 > 12$ и $12 + (12+d) > 12-d \implies 24+d > 12-d$, выполняются всегда при $d \ge 0$.

Объединяя все условия для $d$ (считая $d \ge 0$), получаем: $0 \le d < 6$.

По условию задачи, длины сторон являются целыми числами. Поскольку 12 — целое число, то $12-d$ и $12+d$ будут целыми, только если $d$ — также целое число. Следовательно, $d$ может принимать целые значения от 0 до 5 включительно.

Найдем все возможные наборы длин сторон для целых значений $d$ из промежутка $[0, 5]$:
При $d=0$: стороны (12, 12, 12) см. (равносторонний треугольник)
При $d=1$: стороны (11, 12, 13) см.
При $d=2$: стороны (10, 12, 14) см.
При $d=3$: стороны (9, 12, 15) см. (прямоугольный треугольник)
При $d=4$: стороны (8, 12, 16) см.
При $d=5$: стороны (7, 12, 17) см.

Если $d=6$, то стороны (6, 12, 18), но $6+12=18$, что не удовлетворяет строгому неравенству треугольника. Такой треугольник называется вырожденным.

Ответ: Возможны следующие наборы целых длин сторон треугольника (в см): (12, 12, 12), (11, 12, 13), (10, 12, 14), (9, 12, 15), (8, 12, 16), (7, 12, 17).