Номер 974, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 974, страница 258.

Условие.

974. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена. Найдите ее:

а) наибольший член, если $a_n = -n^2 + 10n - 21;$

б) наименьший член, если $a_n = n^2 - 16n + 44.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Формула n-го члена последовательности $a_n = -n^2 + 10n - 21$ представляет собой квадратичную функцию от $n$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $n^2$ отрицательный (равен $-1$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы. Найдем абсциссу вершины $n_0$ по формуле $n_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = -1$ и $b = 10$.
$n_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$.
Поскольку $n_0 = 5$ является натуральным числом (а номер члена последовательности $n$ по определению является натуральным числом), то наибольший член последовательности соответствует $n=5$.
Вычислим значение этого члена:
$a_5 = -5^2 + 10 \cdot 5 - 21 = -25 + 50 - 21 = 4$.
Ответ: 4.

б) Формула n-го члена последовательности $a_n = n^2 - 16n + 44$ также является квадратичной функцией от $n$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $n^2$ положительный (равен $1$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция достигает своего наименьшего значения в вершине параболы. Найдем абсциссу вершины $n_0$ по формуле $n_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$ и $b = -16$.
$n_0 = -\frac{-16}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$.
Поскольку $n_0 = 8$ является натуральным числом, наименьший член последовательности соответствует $n=8$.
Вычислим значение этого члена:
$a_8 = 8^2 - 16 \cdot 8 + 44 = 64 - 128 + 44 = -20$.
Ответ: -20.