Номер 979, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 979, страница 258.

Условие.

979. Последовательность $(a_n)$ задана рекуррентно $a_1 = 2, a_{n+1} = 5a_n + 2$.

Докажите, что $a_n = \frac{1}{2}(5^n - 1)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства того, что для последовательности $(a_n)$, заданной рекуррентно $a_1 = 2$ и $a_{n+1} = 5a_n + 2$, справедлива формула $a_n = \frac{1}{2}(5^n - 1)$, воспользуемся методом математической индукции.

База индукции

Проверим истинность утверждения для $n = 1$.

По условию задачи, первый член последовательности $a_1 = 2$.

Теперь подставим $n=1$ в предложенную формулу:

$a_1 = \frac{1}{2}(5^1 - 1) = \frac{1}{2}(5 - 1) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

Поскольку значения совпали ($2=2$), база индукции верна.

Индукционное предположение

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k$, то есть выполняется равенство:

$a_k = \frac{1}{2}(5^k - 1)$.

Индукционный шаг

Докажем, что если наше предположение верно, то формула будет верна и для следующего члена последовательности, то есть для $n = k + 1$. Мы должны показать, что $a_{k+1} = \frac{1}{2}(5^{k+1} - 1)$.

Используем рекуррентное определение последовательности для $a_{k+1}$:

$a_{k+1} = 5a_k + 2$.

Теперь заменим $a_k$ выражением из нашего индукционного предположения:

$a_{k+1} = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}(5^k - 1)\right) + 2$.

Выполним алгебраические преобразования, чтобы привести это выражение к искомому виду:

$a_{k+1} = \frac{5(5^k - 1)}{2} + 2 = \frac{5 \cdot 5^k - 5 \cdot 1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5^{k+1} - 5 + 4}{2} = \frac{5^{k+1} - 1}{2}$.

Таким образом, мы получили, что $a_{k+1} = \frac{1}{2}(5^{k+1} - 1)$, что и требовалось доказать.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции формула $a_n = \frac{1}{2}(5^n - 1)$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.