Номер 972, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 972, страница 258.

Условие.

972. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 24. Если третье число увеличить на 4, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найдите три исходных числа.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть три искомых числа, составляющие возрастающую арифметическую прогрессию, равны $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Для удобства представим эти числа в виде $a - d$, $a$, $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность. Поскольку прогрессия является возрастающей, разность $d$ должна быть положительной, то есть $d > 0$.

Согласно первому условию, сумма этих трех чисел равна 24. Составим уравнение:$(a - d) + a + (a + d) = 24$$3a = 24$$a = \frac{24}{3}$$a = 8$

Таким образом, три числа арифметической прогрессии можно записать как $8 - d$, $8$ и $8 + d$.

Согласно второму условию, если третье число ($8 + d$) увеличить на 4, то новые три числа составят геометрическую прогрессию.Новые числа: $b_1 = 8 - d$, $b_2 = 8$, $b_3 = (8 + d) + 4 = 12 + d$.

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.Подставим наши значения:$8^2 = (8 - d)(12 + d)$$64 = 96 + 8d - 12d - d^2$$64 = 96 - 4d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$d^2 + 4d + 64 - 96 = 0$$d^2 + 4d - 32 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-32$. Корнями являются числа $4$ и $-8$.$d_1 = 4$$d_2 = -8$

По условию, исходная арифметическая прогрессия является возрастающей, следовательно, её разность $d$ должна быть положительной. Из двух найденных значений выбираем $d = 4$.

Теперь найдем три исходных числа, подставив значения $a=8$ и $d=4$:Первое число: $a - d = 8 - 4 = 4$Второе число: $a = 8$Третье число: $a + d = 8 + 4 = 12$

Проверим: числа 4, 8, 12 образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью 4. Их сумма $4 + 8 + 12 = 24$.Новые числа: 4, 8, $12+4=16$. Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=2$, так как $8/4 = 2$ и $16/8 = 2$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 4, 8, 12.