Номер 978, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 978, страница 258.

Условие.

978. При каком значении разности арифметической прогрессии, шестой член которой равен 8, произведение третьего и десятого членов будет наибольшим?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $a_n$ — n-ый член арифметической прогрессии, $a_1$ — ее первый член, а $d$ — разность прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи, шестой член прогрессии равен 8, то есть $a_6 = 8$. Используя формулу, получаем: $a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d = 8$.

Нам необходимо найти значение $d$, при котором произведение третьего и десятого членов, $P = a_3 \cdot a_{10}$, будет наибольшим. Выразим $a_3$ и $a_{10}$ через известный нам шестой член $a_6$ и разность $d$. Общая формула, связывающая два любых члена прогрессии: $a_n = a_k + (n-k)d$.

Выразим $a_3$:

$a_3 = a_6 + (3-6)d = a_6 - 3d = 8 - 3d$

Выразим $a_{10}$:

$a_{10} = a_6 + (10-6)d = a_6 + 4d = 8 + 4d$

Теперь составим выражение для произведения $P$ как функцию от $d$:

$P(d) = a_3 \cdot a_{10} = (8 - 3d)(8 + 4d)$

Раскроем скобки, чтобы получить квадратный трехчлен:

$P(d) = 8 \cdot 8 + 8 \cdot 4d - 3d \cdot 8 - 3d \cdot 4d = 64 + 32d - 24d - 12d^2$

$P(d) = -12d^2 + 8d + 64$

Полученная функция $P(d)$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $d^2$ отрицателен ($-12 < 0$). Следовательно, эта функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Координату вершины параболы $y = ax^2+bx+c$ по оси абсцисс (в нашем случае по оси $d$) находят по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $P(d) = -12d^2 + 8d + 64$ коэффициенты равны $a = -12$, $b = 8$.

Найдем значение $d$, при котором произведение будет наибольшим:

$d = -\frac{8}{2 \cdot (-12)} = -\frac{8}{-24} = \frac{1}{3}$

Таким образом, произведение третьего и десятого членов будет наибольшим при значении разности арифметической прогрессии, равном $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.