Номер 980, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 980, страница 258.

Условие.

980. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомое трехзначное число можно записать в виде $\overline{abc}$, где $a$ – цифра сотен, $b$ – цифра десятков, а $c$ – цифра единиц. При этом, поскольку число трехзначное, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, а $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Из условия задачи нам известно, что цифры $a$, $b$ и $c$ образуют арифметическую прогрессию. Для трех членов арифметической прогрессии справедливо свойство: средний член равен среднему арифметическому двух крайних. Математически это записывается как: $b = \frac{a+c}{2}$, или $2b = a+c$.

Второе условие — число делится на 45. Число делится на 45, если оно одновременно делится на 5 и на 9, поскольку $45 = 5 \times 9$, а числа 5 и 9 являются взаимно простыми.

1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Это означает, что последняя цифра нашего числа, $c$, может быть равна только 0 или 5.

2. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна быть кратна 9. То есть, выражение $(a+b+c)$ должно делиться на 9.

Рассмотрим последовательно два возможных случая для цифры $c$.

Случай 1: $c = 0$
Подставим это значение в свойство арифметической прогрессии $2b = a+c$:
$2b = a+0 \Rightarrow a = 2b$.
Теперь подставим выражения для $a$ и $c$ в условие делимости на 9:
$a+b+c = (2b)+b+0 = 3b$.
Сумма цифр $3b$ должна делиться на 9. Это выполняется, если сама цифра $b$ делится на 3. Возможные значения для $b$: 0, 3, 6, 9. Однако, так как $a=2b$ и $a \neq 0$, то и $b \neq 0$. Проверим оставшиеся варианты:
- Если $b=3$, то $a = 2 \times 3 = 6$. Цифры числа: 6, 3, 0. Число: 630. Проверка: цифры 6, 3, 0 образуют арифметическую прогрессию (разность -3). Сумма цифр $6+3+0=9$, кратна 9. Число оканчивается на 0, кратно 5. Следовательно, число 630 делится на 45 и удовлетворяет всем условиям.
- Если $b=6$, то $a = 2 \times 6 = 12$. Так как $a$ должно быть одной цифрой, этот вариант не подходит.
- Если $b=9$, то $a = 2 \times 9 = 18$. Этот вариант также не подходит.
В этом случае мы нашли одно подходящее число: 630.

Случай 2: $c = 5$
Подставим это значение в свойство арифметической прогрессии $2b = a+c$:
$2b = a+5 \Rightarrow a = 2b-5$.
Подставим выражения для $a$ и $c$ в условие делимости на 9:
$a+b+c = (2b-5)+b+5 = 3b$.
Как и в первом случае, сумма цифр $3b$ должна делиться на 9, что означает, что $b$ должно быть кратно 3. Возможные значения для $b$: 0, 3, 6, 9. Кроме того, из $a=2b-5$ и условия $a \ge 1$ следует, что $2b-5 \ge 1 \Rightarrow 2b \ge 6 \Rightarrow b \ge 3$. Проверим подходящие варианты для $b$:
- Если $b=3$, то $a = 2 \times 3 - 5 = 1$. Цифры числа: 1, 3, 5. Число: 135. Проверка: цифры 1, 3, 5 образуют арифметическую прогрессию (разность 2). Сумма цифр $1+3+5=9$, кратна 9. Число оканчивается на 5, кратно 5. Следовательно, число 135 удовлетворяет всем условиям.
- Если $b=6$, то $a = 2 \times 6 - 5 = 7$. Цифры числа: 7, 6, 5. Число: 765. Проверка: цифры 7, 6, 5 образуют арифметическую прогрессию (разность -1). Сумма цифр $7+6+5=18$, кратна 9. Число оканчивается на 5, кратно 5. Следовательно, число 765 удовлетворяет всем условиям.
- Если $b=9$, то $a = 2 \times 9 - 5 = 13$. Так как $a$ должно быть одной цифрой, этот вариант не подходит.
В этом случае мы нашли два подходящих числа: 135 и 765.

Объединив решения из двух случаев, получаем все числа, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: 135, 630, 765.