Номер 975, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 975, страница 258.

Условие.

975. Докажите, что если числа $ \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b} $ образуют арифметическую прогрессию, то и числа $ a^2, b^2, c^2 $ также образуют арифметическую прогрессию.

Решение.

Решение 2 (rus).

По условию задачи числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ и $\frac{1}{a+b}$ образуют арифметическую прогрессию. Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна. Запишем это свойство для данной последовательности:

$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}$

Чтобы упростить это выражение, приведем дроби в каждой части уравнения к общему знаменателю:

В левой части: $\frac{(b+c) - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)} = \frac{b-a}{(a+c)(b+c)}$

В правой части: $\frac{(a+c) - (a+b)}{(a+b)(a+c)} = \frac{a+c-a-b}{(a+b)(a+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$

Теперь приравняем полученные выражения:

$\frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$

Так как второй член прогрессии $\frac{1}{a+c}$ существует, то $a+c \neq 0$. Следовательно, мы можем умножить обе части равенства на $(a+c)$, не равное нулю:

$\frac{b-a}{b+c} = \frac{c-b}{a+b}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(b-a)(a+b) = (c-b)(b+c)$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к обеим частям равенства:

$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$

Перенесем члены, содержащие $b^2$, в левую часть, а $a^2$ — в правую:

$b^2 + b^2 = a^2 + c^2$

$2b^2 = a^2 + c^2$

Полученное равенство является характеристическим свойством арифметической прогрессии для чисел $a^2, b^2, c^2$. Оно означает, что средний член $b^2$ равен среднему арифметическому крайних членов $a^2$ и $c^2$. Таким образом, доказано, что если числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ образуют арифметическую прогрессию, то и числа $a^2, b^2, c^2$ также образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: Утверждение доказано.