Номер 969, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 969, страница 257.

Условие.

969. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии $(x_n)$, если $x_3 = 9, x_6 = 243.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи нам необходимо найти первый член прогрессии $x_1$ и ее знаменатель $q$. Затем мы сможем вычислить сумму первых пяти членов $S_5$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии $(x_n)$ имеет вид: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию нам даны $x_3 = 9$ и $x_6 = 243$. Запишем их с использованием формулы:

$x_3 = x_1 \cdot q^{3-1} = x_1 \cdot q^2 = 9$

$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = x_1 \cdot q^5 = 243$

Чтобы найти знаменатель $q$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{x_6}{x_3} = \frac{x_1 \cdot q^5}{x_1 \cdot q^2} = q^{5-2} = q^3$

Подставим числовые значения:

$q^3 = \frac{243}{9} = 27$

Отсюда находим, что знаменатель прогрессии $q = \sqrt[3]{27} = 3$.

Теперь найдем первый член прогрессии $x_1$. Для этого подставим значение $q=3$ в формулу для $x_3$:

$x_1 \cdot q^2 = 9$

$x_1 \cdot 3^2 = 9$

$x_1 \cdot 9 = 9$

$x_1 = 1$

Теперь, зная первый член $x_1 = 1$ и знаменатель $q=3$, мы можем найти сумму первых пяти членов прогрессии по формуле:

$S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим $n=5$, $x_1=1$ и $q=3$:

$S_5 = \frac{1 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = \frac{242}{2} = 121$

Ответ: 121