Номер 973, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 973, страница 258.

Условие.

973. Сумма трех первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 19. Найдите ее пятый член, если сумма этой прогрессии равна 27.

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. По условию, прогрессия является бесконечно убывающей, что означает, что $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:$S_3 = \frac{b_1(1-q^3)}{1-q}$

Из условия задачи мы имеем систему из двух уравнений:
1) Сумма прогрессии: $S = 27$
2) Сумма первых трех членов: $S_3 = 19$

Подставим известные значения в формулы:
$\frac{b_1}{1-q} = 27$
$\frac{b_1(1-q^3)}{1-q} = 19$

Заметим, что левую часть второго уравнения можно переписать, используя первое уравнение:
$S_3 = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1-q^3) = S \cdot (1-q^3)$

Подставим известные значения $S_3$ и $S$:
$19 = 27 \cdot (1-q^3)$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:
$1-q^3 = \frac{19}{27}$
$q^3 = 1 - \frac{19}{27}$
$q^3 = \frac{27 - 19}{27}$
$q^3 = \frac{8}{27}$
$q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$

Мы нашли знаменатель прогрессии. Теперь найдем ее первый член $b_1$ из первого уравнения:
$b_1 = 27 \cdot (1-q) = 27 \cdot (1 - \frac{2}{3}) = 27 \cdot \frac{1}{3} = 9$

Нам нужно найти пятый член прогрессии, $b_5$. Формула для n-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим наши значения $b_1=9$ и $q=\frac{2}{3}$ для $n=5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = 9 \cdot (\frac{2}{3})^4$
$b_5 = 9 \cdot \frac{2^4}{3^4} = 9 \cdot \frac{16}{81} = \frac{9 \cdot 16}{81} = \frac{16}{9}$

Пятый член прогрессии равен $\frac{16}{9}$.

Ответ: $\frac{16}{9}$.