Номер 970, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 970, страница 257.

Условие.

970. В геометрической прогрессии 6 членов. Найдите ее первый член, если сумма первых трех ее членов равна 28, а сумма трех последних равна 3,5.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $b_1$, а знаменатель прогрессии равен $q$.

В прогрессии 6 членов: $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6$.

По условию задачи, сумма первых трех членов равна 28. Запишем это в виде уравнения, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_1 + b_2 + b_3 = 28$

$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 28$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q + q^2) = 28$

Также по условию, сумма трех последних членов ($b_4, b_5, b_6$) равна 3,5. Запишем второе уравнение:

$b_4 + b_5 + b_6 = 3.5$

$b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = 3.5$

Вынесем общий множитель $b_1q^3$ за скобки:

$b_1q^3(1 + q + q^2) = 3.5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 28 \\ b_1q^3(1 + q + q^2) = 3.5 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Так как суммы не равны нулю, это допустимо.

$\frac{b_1q^3(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{3.5}{28}$

После сокращения одинаковых множителей в левой части, получаем:

$q^3 = \frac{3.5}{28}$

Упростим правую часть:

$q^3 = \frac{35}{280} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная $q$, мы можем найти первый член $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение $b_1(1 + q + q^2) = 28$:

$b_1\left(1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) = 28$

$b_1\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 28$

Вычислим выражение в скобках:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$b_1 \cdot \frac{7}{4} = 28$

Находим $b_1$:

$b_1 = 28 \div \frac{7}{4} = 28 \cdot \frac{4}{7} = 4 \cdot 4 = 16$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 16.

Ответ: 16