Номер 963, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 963, страница 257.

Условие.

963. Три различных числа $a, b, c$ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Числа $a - b, b - c, a - c$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

По условию, три различных числа $a$, $b$ и $c$ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Пусть $q$ — знаменатель этой прогрессии. Тогда мы можем выразить $b$ и $c$ через первый член $a$ и знаменатель $q$:

$b = a \cdot q$

$c = b \cdot q = (a \cdot q) \cdot q = a \cdot q^2$

Поскольку числа $a$, $b$, $c$ различны, то знаменатель прогрессии $q$ не может быть равен 1 (иначе $a=b=c$), и первый член $a$ не может быть равен 0 (иначе $a=b=c=0$).

Также по условию, числа $a - b$, $b - c$ и $a - c$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что её средний член равен среднему арифметическому соседних с ним членов. Применительно к нашей последовательности это означает:

$b - c = \frac{(a - b) + (a - c)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$2(b - c) = a - b + a - c$

$2b - 2c = 2a - b - c$

Приведем подобные члены:

$3b = 2a + c$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $b$ и $c$ из геометрической прогрессии ($b = aq$ и $c = aq^2$):

$3(aq) = 2a + aq^2$

Поскольку $a \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$3q = 2 + q^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $q$:

$q^2 - 3q + 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или разложение на множители. Корнями уравнения являются числа, сумма которых равна 3, а произведение равно 2. Это числа 1 и 2.

$(q - 1)(q - 2) = 0$

Таким образом, мы получили два возможных значения для знаменателя $q$:

$q_1 = 1$

$q_2 = 2$

Проверим эти значения. Как мы уже отмечали, если $q=1$, то $b=a \cdot 1 = a$ и $c=a \cdot 1^2 = a$. В этом случае числа не являются различными ($a=b=c$), что противоречит условию задачи. Следовательно, значение $q=1$ не является решением.

Если $q=2$, то $b = 2a$ и $c = 4a$. Если $a \ne 0$, то числа $a, 2a, 4a$ различны. Проверим второе условие: числа $a-b$, $b-c$ и $a-c$ должны образовывать арифметическую прогрессию.

$a - b = a - 2a = -a$

$b - c = 2a - 4a = -2a$

$a - c = a - 4a = -3a$

Последовательность $-a, -2a, -3a$ действительно является арифметической прогрессией с разностью $d = -a$.

Следовательно, единственное подходящее значение знаменателя геометрической прогрессии — это 2.

Ответ: 2