Номер 981, страница 258 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Последовательности. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 981, страница 258.

Условие.

981. Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = 5n - n^2$. Найдите восьмой член этой прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии ($a_n$), зная формулу суммы её первых n членов ($S_n$), можно использовать формулу $a_n = S_n - S_{n-1}$. Эта формула верна, так как $S_n$ — это сумма всех членов от первого до n-го ($a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n$), а $S_{n-1}$ — это сумма всех членов от первого до (n-1)-го ($a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}$). Их разность и будет n-ым членом.

В задаче требуется найти восьмой член прогрессии, то есть $a_8$. Для этого воспользуемся указанной формулой при $n=8$:
$a_8 = S_8 - S_7$

По условию задачи, формула для суммы n первых членов: $S_n = 5n - n^2$.

1. Вычислим сумму первых восьми членов ($S_8$), подставив $n=8$ в формулу:
$S_8 = 5 \cdot 8 - 8^2 = 40 - 64 = -24$

2. Вычислим сумму первых семи членов ($S_7$), подставив $n=7$ в формулу:
$S_7 = 5 \cdot 7 - 7^2 = 35 - 49 = -14$

3. Теперь найдем восьмой член прогрессии $a_8$, вычтя $S_7$ из $S_8$:
$a_8 = S_8 - S_7 = -24 - (-14) = -24 + 14 = -10$

Ответ: -10