Номер 988, страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 988, страница 259.

Условие.

988. Могут ли тангенс и котангенс одного и того же угла быть соответственно равными:

a) $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$;

б) $1 + \sqrt{2}$ и $1 - \sqrt{2}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы два числа являлись тангенсом и котангенсом одного и того же угла $\alpha$, их произведение должно равняться 1. Это следует из основного тригонометрического тождества: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$. Проверим это свойство для каждой пары чисел.

а) Проверим числа $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$.
Найдем их произведение, применив формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(2 + \sqrt{3}) \cdot (2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Так как произведение равно 1, эти числа могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же угла.
Ответ: да, могут.

б) Проверим числа $1 + \sqrt{2}$ и $1 - \sqrt{2}$.
Найдем их произведение, также используя формулу разности квадратов:
$(1 + \sqrt{2}) \cdot (1 - \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$.
Так как произведение равно -1, а не 1, эти числа не могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же угла.
Ответ: нет, не могут.