Номер 993, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 993, страница 260.

Условие.

993. Найдите значение выражения:

a) $ \sin(\alpha+\beta) $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $, $ \sin \beta = \frac{5}{13} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $;

б) $ \cos(\alpha+\beta) $, если $ \cos \alpha = - \frac{\sqrt{2}}{3} $, $ \cos \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} $, $ 0 < \alpha < \pi $, $ 0 < \beta < \pi $.

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Для нахождения значения выражения $sin(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
По условию задачи даны $sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ и $sin(\beta) = \frac{5}{13}$. Необходимо найти значения $cos(\alpha)$ и $cos(\beta)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, из которого следует, что $cos(x) = \pm\sqrt{1 - sin^2(x)}$. Знак косинуса определяется координатной четвертью, в которой находится угол.
Угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти косинус имеет отрицательное значение.
$cos(\alpha) = -\sqrt{1 - sin^2(\alpha)} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.
Угол $\beta$ также удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, что также соответствует второй координатной четверти. Следовательно, $cos(\beta)$ также отрицателен.
$cos(\beta) = -\sqrt{1 - sin^2(\beta)} = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.
Теперь подставим все найденные значения в формулу синуса суммы:
$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{12}{13}) + (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{5}{13} = -\frac{36}{65} - \frac{20}{65} = \frac{-36 - 20}{65} = -\frac{56}{65}$.
Ответ: $-\frac{56}{65}$.

б) Для нахождения значения выражения $cos(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
По условию задачи даны $cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $cos(\beta) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Необходимо найти значения $sin(\alpha)$ и $sin(\beta)$. Для этого используем основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, из которого $sin(x) = \pm\sqrt{1 - cos^2(x)}$. Знак синуса определяется координатной четвертью, в которой находится угол.
Угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $0 < \alpha < \pi$. Поскольку $cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{2}{3}}$ отрицателен, угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$). Во второй четверти синус имеет положительное значение.
$sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (-\sqrt{\frac{2}{3}})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Угол $\beta$ удовлетворяет неравенству $0 < \beta < \pi$. Поскольку $cos(\beta) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ положителен, угол $\beta$ находится в первой координатной четверти ($0 < \beta < \frac{\pi}{2}$). В первой четверти синус имеет положительное значение.
$sin(\beta) = \sqrt{1 - cos^2(\beta)} = \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
Теперь подставим все найденные значения в формулу косинуса суммы:
$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) = (-\sqrt{\frac{2}{3}}) \cdot (\frac{2\sqrt{2}}{3}) - (\frac{\sqrt{3}}{3}) \cdot (\frac{1}{3}) = (-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}) \cdot (\frac{2\sqrt{2}}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{9} = -\frac{2(\sqrt{2})^2}{3\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{9} = -\frac{4}{3\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{9}$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю 9, домножив ее числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$-\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{9} = -\frac{4\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{-4\sqrt{3} - \sqrt{3}}{9} = -\frac{5\sqrt{3}}{9}$.
Ответ: $-\frac{5\sqrt{3}}{9}$.