Номер 996, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 996, страница 260.

Условие.

996. Верно ли равенство:

а) $\cos 160^\circ - \cos 140^\circ = -\sin 10^\circ;$

в) $\sin \frac{2\pi}{5} - \sin \frac{3\pi}{5} = 0;$

б) $\cos 160^\circ + \cos 80^\circ = -\cos 40^\circ;$

г) $\sin 130^\circ + \sin 110^\circ = \cos 10^\circ?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Проверим равенство $ \cos 160^\circ - \cos 140^\circ = -\sin 10^\circ $.
Для преобразования левой части используем формулу разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $.
Подставим $ \alpha = 160^\circ $ и $ \beta = 140^\circ $:
$ \cos 160^\circ - \cos 140^\circ = -2 \sin \frac{160^\circ + 140^\circ}{2} \sin \frac{160^\circ - 140^\circ}{2} = -2 \sin \frac{300^\circ}{2} \sin \frac{20^\circ}{2} = -2 \sin 150^\circ \sin 10^\circ $.
Так как $ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 10^\circ = -1 \cdot \sin 10^\circ = -\sin 10^\circ $.
Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим равенство $ \cos 160^\circ + \cos 80^\circ = -\cos 40^\circ $.
Для преобразования левой части используем формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.
Подставим $ \alpha = 160^\circ $ и $ \beta = 80^\circ $:
$ \cos 160^\circ + \cos 80^\circ = 2 \cos \frac{160^\circ + 80^\circ}{2} \cos \frac{160^\circ - 80^\circ}{2} = 2 \cos \frac{240^\circ}{2} \cos \frac{80^\circ}{2} = 2 \cos 120^\circ \cos 40^\circ $.
Так как $ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} $, получаем:
$ 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \cos 40^\circ = -1 \cdot \cos 40^\circ = -\cos 40^\circ $.
Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

в) Проверим равенство $ \sin \frac{2\pi}{5} - \sin \frac{3\pi}{5} = 0 $.
Для преобразования левой части используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $.
Подставим $ \alpha = \frac{2\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{5} $:
$ \sin \frac{2\pi}{5} - \sin \frac{3\pi}{5} = 2 \sin \frac{\frac{2\pi}{5} - \frac{3\pi}{5}}{2} \cos \frac{\frac{2\pi}{5} + \frac{3\pi}{5}}{2} = 2 \sin \frac{-\frac{\pi}{5}}{2} \cos \frac{\frac{5\pi}{5}}{2} = 2 \sin(-\frac{\pi}{10}) \cos \frac{\pi}{2} $.
Так как $ \cos \frac{\pi}{2} = 0 $, то всё выражение равно $ 2 \sin(-\frac{\pi}{10}) \cdot 0 = 0 $.
Левая часть равна правой (0 = 0), следовательно, равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

г) Проверим, верно ли равенство $ \sin 130^\circ + \sin 110^\circ = \cos 10^\circ $.
Для преобразования левой части используем формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.
Подставим $ \alpha = 130^\circ $ и $ \beta = 110^\circ $:
$ \sin 130^\circ + \sin 110^\circ = 2 \sin \frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cos \frac{130^\circ - 110^\circ}{2} = 2 \sin \frac{240^\circ}{2} \cos \frac{20^\circ}{2} = 2 \sin 120^\circ \cos 10^\circ $.
Так как $ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 10^\circ = \sqrt{3} \cos 10^\circ $.
Теперь сравним левую и правую части исходного равенства: $ \sqrt{3} \cos 10^\circ = \cos 10^\circ $.
Так как $ \cos 10^\circ \neq 0 $, мы можем разделить обе части на $ \cos 10^\circ $, получив $ \sqrt{3} = 1 $, что является ложным утверждением.
Следовательно, исходное равенство неверно.
Ответ: нет, равенство неверно.