Номер 997, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 997, страница 260.

Условие.

997. Упростите выражение:

a)

$\frac{\cos 6x - \sin 6x \cdot \cot 3x}{\cos 6x + \sin 6x \cdot \tan 3x}$

б)

$\frac{\cos 10x \cdot \tan 5x - \sin 10x}{\cos 10x \cdot \cot 5x + \sin 10x}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходное выражение: $ \frac{\cos 6x - \sin 6x \cdot \ctg 3x}{\cos 6x + \sin 6x \cdot \tg 3x} $.
Для упрощения воспользуемся формулами двойного угла для аргумента $6x$, выразив его через $3x$:
$ \cos 6x = \cos(2 \cdot 3x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x $
$ \sin 6x = \sin(2 \cdot 3x) = 2 \sin 3x \cos 3x $
Также используем определения тангенса и котангенса: $ \tg 3x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} $ и $ \ctg 3x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} $.
Теперь преобразуем числитель исходной дроби:
$ \cos 6x - \sin 6x \cdot \ctg 3x = (\cos^2 3x - \sin^2 3x) - (2 \sin 3x \cos 3x) \cdot \frac{\cos 3x}{\sin 3x} $
После сокращения $ \sin 3x $ получаем:
$ \cos^2 3x - \sin^2 3x - 2 \cos^2 3x = -\cos^2 3x - \sin^2 3x = -(\cos^2 3x + \sin^2 3x) = -1 $.
Далее преобразуем знаменатель исходной дроби:
$ \cos 6x + \sin 6x \cdot \tg 3x = (\cos^2 3x - \sin^2 3x) + (2 \sin 3x \cos 3x) \cdot \frac{\sin 3x}{\cos 3x} $
После сокращения $ \cos 3x $ получаем:
$ \cos^2 3x - \sin^2 3x + 2 \sin^2 3x = \cos^2 3x + \sin^2 3x = 1 $.
Таким образом, всё выражение равно $ \frac{-1}{1} = -1 $.
Ответ: -1

б) Исходное выражение: $ \frac{\cos 10x \cdot \tg 5x - \sin 10x}{\cos 10x \cdot \ctg 5x + \sin 10x} $.
Заменим тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \tg 5x = \frac{\sin 5x}{\cos 5x} $ и $ \ctg 5x = \frac{\cos 5x}{\sin 5x} $.
Преобразуем числитель, приведя его к общему знаменателю:
$ \cos 10x \cdot \frac{\sin 5x}{\cos 5x} - \sin 10x = \frac{\cos 10x \sin 5x - \sin 10x \cos 5x}{\cos 5x} $.
Числитель полученной дроби представляет собой формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 10x $:
$ \sin 5x \cos 10x - \cos 5x \sin 10x = \sin(5x - 10x) = \sin(-5x) = -\sin 5x $.
Следовательно, весь числитель исходного выражения равен $ \frac{-\sin 5x}{\cos 5x} = -\tg 5x $.
Теперь преобразуем знаменатель, также приведя его к общему знаменателю:
$ \cos 10x \cdot \frac{\cos 5x}{\sin 5x} + \sin 10x = \frac{\cos 10x \cos 5x + \sin 10x \sin 5x}{\sin 5x} $.
Числитель этой дроби является формулой косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $, где $ \alpha = 10x $ и $ \beta = 5x $:
$ \cos 10x \cos 5x + \sin 10x \sin 5x = \cos(10x - 5x) = \cos 5x $.
Следовательно, весь знаменатель исходного выражения равен $ \frac{\cos 5x}{\sin 5x} = \ctg 5x $.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{-\tg 5x}{\ctg 5x} = -\tg 5x \cdot \frac{1}{\ctg 5x} = -\tg 5x \cdot \tg 5x = -\tg^2 5x $.
Ответ: $ -\tg^2 5x $