Номер 1002, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1002, страница 260.

Условие.

1002. Известно, что $ \text{tg } x + \text{ctg } x = a $. Найдите $ \sin^2 2x $.

Решение.

Решение 2 (rus).

По условию, $ \tg x + \ctg x = a $.
Преобразуем левую часть равенства, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $ и $ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = a $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $ \sin x \cos x $:
$ \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = a $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем:
$ \frac{1}{\sin x \cos x} = a $
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $. Отсюда следует, что $ \sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2} $.
Подставим это выражение в наше уравнение:
$ \frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}} = a $
Упростим левую часть:
$ \frac{2}{\sin 2x} = a $
Выразим отсюда $ \sin 2x $:
$ \sin 2x = \frac{2}{a} $
Чтобы найти $ \sin^2 2x $, возведем обе части полученного равенства в квадрат:
$ \sin^2 2x = \left(\frac{2}{a}\right)^2 = \frac{4}{a^2} $
Ответ: $ \frac{4}{a^2} $.