Номер 998, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 998, страница 260.

Условие.

998. Докажите, что $\sin^2 5 + \sin^2 2 + \cos 7 \cdot \cos 3 = 1$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, предполагая, что аргументы тригонометрических функций указаны в градусах.

Исходное выражение: $sin^2(5^\circ) + sin^2(2^\circ) + \cos(7^\circ) \cdot \cos(3^\circ)$.

Сначала преобразуем произведение косинусов в сумму, используя формулу:
$\cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Применим эту формулу к слагаемому $\cos(7^\circ) \cos(3^\circ)$:
$\cos(7^\circ) \cos(3^\circ) = \frac{1}{2}(\cos(7^\circ - 3^\circ) + \cos(7^\circ + 3^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(4^\circ) + \cos(10^\circ))$.

Теперь выражение примет вид:
$sin^2(5^\circ) + sin^2(2^\circ) + \frac{1}{2}(\cos(4^\circ) + \cos(10^\circ))$.

Далее используем формулу понижения степени для синуса: $sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Применим ее к первым двум слагаемым:
$sin^2(5^\circ) = \frac{1 - \cos(2 \cdot 5^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos(10^\circ)}{2}$.
$sin^2(2^\circ) = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos(4^\circ)}{2}$.

Подставим полученные выражения обратно в левую часть равенства:
$\frac{1 - \cos(10^\circ)}{2} + \frac{1 - \cos(4^\circ)}{2} + \frac{1}{2}(\cos(4^\circ) + \cos(10^\circ))$.

Раскроем скобки и объединим дроби:
$\frac{1}{2} - \frac{\cos(10^\circ)}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\cos(4^\circ)}{2} + \frac{\cos(4^\circ)}{2} + \frac{\cos(10^\circ)}{2}$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (-\frac{\cos(10^\circ)}{2} + \frac{\cos(10^\circ)}{2}) + (-\frac{\cos(4^\circ)}{2} + \frac{\cos(4^\circ)}{2}) = 1 + 0 + 0 = 1$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна $1$, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Тождество доказано.