Номер 999, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 999, страница 260.

Условие.

999. Какие значения может принимать:

a) tg x, если $tg \frac{x}{2} = \sqrt{2}$;

б) tg $\frac{x}{2}$, если $tg x = -2\sqrt{2}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) tg x, если tg(x/2) = √2;

Для нахождения значения $\tg x$, зная значение $\tg\frac{x}{2}$, воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$\tg(2\alpha) = \frac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}$

В нашем случае, если принять $\alpha = \frac{x}{2}$, то $2\alpha = x$. Формула примет следующий вид:

$\tg x = \frac{2\tg\frac{x}{2}}{1 - \tg^2\frac{x}{2}}$

Теперь подставим в эту формулу данное в условии значение $\tg\frac{x}{2} = \sqrt{2}$:

$\tg x = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{1 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{2\sqrt{2}}{-1} = -2\sqrt{2}$

Ответ: $-2\sqrt{2}$.

б) tg(x/2), если tg x = -2√2?

Снова воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\tg x = \frac{2\tg\frac{x}{2}}{1 - \tg^2\frac{x}{2}}$.

Пусть $t = \tg\frac{x}{2}$. Подставим это обозначение и известное значение $\tg x = -2\sqrt{2}$ в формулу:

$-2\sqrt{2} = \frac{2t}{1 - t^2}$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $t$.

$-2\sqrt{2}(1 - t^2) = 2t$

Разделим обе части уравнения на 2:

$-\sqrt{2}(1 - t^2) = t$

$-\sqrt{2} + \sqrt{2}t^2 = t$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$\sqrt{2}t^2 - t - \sqrt{2} = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней. Коэффициенты уравнения: $a = \sqrt{2}$, $b = -1$, $c = -\sqrt{2}$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2\sqrt{2}} = \frac{1 + 3}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2\sqrt{2}} = \frac{1 - 3}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Поскольку $t = \tg\frac{x}{2}$, мы нашли два возможных значения для $\tg\frac{x}{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$; $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.