Номер 995, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 995, страница 260.

Условие.

995. Найдите значение выражения:

а) $ \text{tg } x - \text{ctg } x $, если $ \text{ctg } 2x = a $.

б) $ \text{tg } x + \text{ctg } x $, если $ \text{sin } 2x = b $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Требуется найти значение выражения $tg x - ctg x$, если известно, что $ctg 2x = a$.

Преобразуем исходное выражение, представив тангенс и котангенс через синус и косинус:

$tg x - ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin x \cos x$:

$\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{-(\cos^2 x - \sin^2 x)}{\sin x \cos x}$

В числителе мы получили выражение для косинуса двойного угла, взятое со знаком минус. Воспользуемся формулами двойного угла:

1. $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

2. $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, откуда следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

Подставим эти формулы в наше преобразованное выражение:

$\frac{-\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = -2 \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x}$

Отношение косинуса к синусу того же угла есть котангенс этого угла, то есть $\frac{\cos 2x}{\sin 2x} = ctg 2x$.

Таким образом, получаем:

$tg x - ctg x = -2 ctg 2x$

По условию задачи $ctg 2x = a$. Подставив это значение, находим итоговый результат:

$-2a$

Ответ: $-2a$.

б)

Требуется найти значение выражения $tg x + ctg x$, если известно, что $\sin 2x = b$.

Преобразуем исходное выражение, как и в предыдущем пункте:

$tg x + ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin x \cos x$:

$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}$

В числителе мы получили основное тригонометрическое тождество, а в знаменателе - выражение, связанное с синусом двойного угла.

1. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

2. $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

Подставим эти тождества в нашу дробь:

$\frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2x} = \frac{2}{\sin 2x}$

По условию задачи $\sin 2x = b$. Подставив это значение, находим результат:

$\frac{2}{b}$

Ответ: $\frac{2}{b}$.