Номер 992, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 992, страница 260.

Условие.

992. Найдите наименьшее значение выражения $(\frac{2}{\sin \alpha + \cos \alpha})^2$, где $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения наименьшего значения выражения $f(\alpha) = \left(\frac{2}{\sin \alpha + \cos \alpha}\right)^2$ на отрезке $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$, необходимо проанализировать его знаменатель $g(\alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$.

Выражение $f(\alpha)$ представляет собой дробь, возведенную в квадрат. Числитель дроби — константа (2). Значение всей дроби будет наименьшим, когда значение знаменателя будет наибольшим по абсолютной величине. На заданном отрезке $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$ значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ неотрицательны, поэтому их сумма $\sin \alpha + \cos \alpha$ также неотрицательна. Таким образом, задача сводится к нахождению максимального значения функции $g(\alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Преобразуем выражение $g(\alpha)$ с помощью метода введения вспомогательного угла: $g(\alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha\right)$.

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, мы можем переписать выражение, используя формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$: $g(\alpha) = \sqrt{2}\left(\sin \alpha \cos\frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$.

Теперь найдем максимум функции $g(\alpha)$ на отрезке $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$. Когда $\alpha$ изменяется от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, аргумент синуса $\theta = \alpha + \frac{\pi}{4}$ изменяется в пределах от $0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ функция $\sin\theta$ достигает своего максимального значения, равного 1, в точке $\theta = \frac{\pi}{2}$. Это значение достигается при $\alpha + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, то есть при $\alpha = \frac{\pi}{4}$, что принадлежит исходному отрезку $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Таким образом, максимальное значение знаменателя $g(\alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$ равно $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение, чтобы найти его наименьшее значение: $f_{min} = \left(\frac{2}{\max(\sin \alpha + \cos \alpha)}\right)^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Ответ: 2.