Номер 991, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 991, страница 260.

Условие.

991. Существует ли такой угол $\alpha$, что значение выражения $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ равно:

а) $\frac{2}{3}$;

б) $\frac{3}{7}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Чтобы определить, существует ли такой угол $α$, что $ \sin α \cdot \cos α = \frac{2}{3} $, воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2α) = 2 \sin α \cos α $.

Из этой формулы можно выразить произведение синуса и косинуса:
$ \sin α \cos α = \frac{\sin(2α)}{2} $

Теперь подставим в это равенство заданное значение:
$ \frac{\sin(2α)}{2} = \frac{2}{3} $

Отсюда найдем, чему должен быть равен $ \sin(2α) $:
$ \sin(2α) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $

Область значений функции синус – это отрезок $ [-1; 1] $. Это означает, что для любого действительного угла $x$ должно выполняться неравенство $ -1 \le \sin x \le 1 $.

В нашем случае мы получили $ \sin(2α) = \frac{4}{3} $. Поскольку $ \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $, это значение больше 1 и, следовательно, не входит в область значений функции синус.
Это означает, что не существует такого угла, синус которого был бы равен $ \frac{4}{3} $.
Ответ: не существует.

б)

Проведем аналогичные рассуждения для значения $ \frac{3}{7} $. Проверим, существует ли угол $α$, для которого $ \sin α \cdot \cos α = \frac{3}{7} $.

Снова используем соотношение $ \sin α \cos α = \frac{\sin(2α)}{2} $:
$ \frac{\sin(2α)}{2} = \frac{3}{7} $

Выразим $ \sin(2α) $:
$ \sin(2α) = 2 \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{7} $

Теперь проверим, принадлежит ли полученное значение $ \frac{6}{7} $ области значений функции синус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.

Так как $ -1 \le \frac{6}{7} \le 1 $, то такое значение для синуса возможно. Это означает, что существует угол $2α$, синус которого равен $ \frac{6}{7} $. Следовательно, существует и угол $α$, удовлетворяющий исходному условию.
Ответ: существует.