Номер 994, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 994, страница 260.

Условие.

994. Не используя таблицу значений тригонометрических функций, вычислите:
a) $\sin 165^\circ$;
б) $\cos^2 12^\circ - \sin 42^\circ \cdot \sin 18^\circ$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для вычисления $ \sin 165^\circ $ представим угол $165^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов, значения тригонометрических функций для которых известны, например, $120^\circ$ и $45^\circ$.

Тогда $ \sin 165^\circ = \sin(120^\circ + 45^\circ) $.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Применяя эту формулу, получаем:

$ \sin(120^\circ + 45^\circ) = \sin 120^\circ \cos 45^\circ + \cos 120^\circ \sin 45^\circ $.

Значения тригонометрических функций для углов $45^\circ$ и $120^\circ$ равны:

$ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} $

$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставим эти значения в выражение:

$ \sin 165^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.

б)

Рассмотрим выражение $ \cos^2 12^\circ - \sin 42^\circ \cdot \sin 18^\circ $.

Преобразуем произведение синусов $ \sin 42^\circ \cdot \sin 18^\circ $ в разность косинусов с помощью формулы произведения синусов: $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

В нашем случае $ \alpha = 42^\circ $ и $ \beta = 18^\circ $:

$ \sin 42^\circ \sin 18^\circ = \frac{1}{2}(\cos(42^\circ - 18^\circ) - \cos(42^\circ + 18^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 24^\circ - \cos 60^\circ) $.

Мы знаем, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $. Подставим это значение:

$ \frac{1}{2}(\cos 24^\circ - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\cos 24^\circ - \frac{1}{4} $.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ \cos^2 12^\circ - \sin 42^\circ \cdot \sin 18^\circ = \cos^2 12^\circ - (\frac{1}{2}\cos 24^\circ - \frac{1}{4}) = \cos^2 12^\circ - \frac{1}{2}\cos 24^\circ + \frac{1}{4} $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Для $ \alpha = 12^\circ $ имеем $ \cos 24^\circ = 2\cos^2 12^\circ - 1 $.

Подставим это в наше выражение:

$ \cos^2 12^\circ - \frac{1}{2}(2\cos^2 12^\circ - 1) + \frac{1}{4} = \cos^2 12^\circ - \cos^2 12^\circ + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $.

Упрощая, получаем:

$ 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.

Ответ: $ \frac{3}{4} $.