Номер 990, страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 990, страница 259.

Условие.

990. Докажите тождество:

а)

$\frac{\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} - \sin \alpha \cdot \cos \alpha = 1 - \sin 2\alpha$;

б)

$(\sin^2\alpha + 1)^2 - (\sin^2\alpha - 1)^2 = 4 - 4\cos^2\alpha$;

в)

$\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = 2\operatorname{ctg} \alpha$;

г)

$\frac{\sin(\pi - \alpha) + \sin\frac{\alpha}{2}}{1 - \cos(\pi - \alpha) + \cos\frac{\alpha}{2}} = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) В условии этого пункта, по всей видимости, содержится опечатка. Если преобразовывать левую часть в исходном виде, она тождественно равна 1:
$\frac{\sin^3\alpha - \cos^3\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} - \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin^2\alpha + \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)}{\sin\alpha - \cos\alpha} - \sin\alpha\cos\alpha$
$= (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos\alpha = 1 + 0 = 1$.
Тогда тождество принимает вид $1 = 1 - \sin 2\alpha$, что верно только при $\sin 2\alpha = 0$, а не для всех $\alpha$.
Вероятнее всего, имелось в виду тождество $\frac{\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} - \sin\alpha \cdot \cos\alpha = 1 - \sin 2\alpha$. Докажем его.

Преобразуем левую часть. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ для числителя дроби: $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)$.

Подставим это выражение в левую часть: $\frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)(\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha} - \sin\alpha\cos\alpha$.

Сократив дробь на $(\sin\alpha + \cos\alpha)$, получим: $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - \sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos\alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, преобразуем выражение: $1 - 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Применяя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем, что левая часть равна $1 - \sin 2\alpha$, что совпадает с правой частью. Ответ: тождество (в исправленном виде) доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Она представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sin^2\alpha + 1$ и $b = \sin^2\alpha - 1$.

Распишем левую часть по этой формуле: $(\sin^2\alpha + 1 - (\sin^2\alpha - 1))(\sin^2\alpha + 1 + \sin^2\alpha - 1)$.

Упростим выражения в скобках: $(\sin^2\alpha + 1 - \sin^2\alpha + 1)(2\sin^2\alpha) = (2)(2\sin^2\alpha) = 4\sin^2\alpha$.

Теперь преобразуем правую часть: $4 - 4\cos^2\alpha = 4(1 - \cos^2\alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$, получаем: $4\sin^2\alpha$.

Левая и правая части равны $4\sin^2\alpha$, следовательно, тождество доказано. Ответ: тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть тождества. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус: $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} - \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$: $\frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}$.

В числителе используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Тогда $\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2) = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \cos\alpha$.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, из которой $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$. Тогда $\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь: $\frac{\cos\alpha}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = 2\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\text{ctg}\alpha$.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано. Ответ: тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества. Сначала используем формулы приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ и $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$.

Подставим их в исходное выражение: $\frac{\sin\alpha + \sin(\alpha/2)}{1 - (-\cos\alpha) + \cos(\alpha/2)} = \frac{\sin\alpha + \sin(\alpha/2)}{1 + \cos\alpha + \cos(\alpha/2)}$.

Теперь используем формулы двойного угла для $\sin\alpha$ и $1+\cos\alpha$, выражая их через аргумент $\alpha/2$: $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$ и $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\alpha/2)$.

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель.
Числитель: $2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) + \sin(\alpha/2) = \sin(\alpha/2)(2\cos(\alpha/2) + 1)$.
Знаменатель: $2\cos^2(\alpha/2) + \cos(\alpha/2) = \cos(\alpha/2)(2\cos(\alpha/2) + 1)$.

Теперь вся дробь имеет вид: $\frac{\sin(\alpha/2)(2\cos(\alpha/2) + 1)}{\cos(\alpha/2)(2\cos(\alpha/2) + 1)}$.

Сокращая на общий множитель $(2\cos(\alpha/2) + 1)$, получаем: $\frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \text{tg}(\alpha/2)$.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано. Ответ: тождество доказано.