Номер 1001, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1001, страница 260.

Условие.

1001. Найдите значение выражения:

а) $\sin \frac{13\pi}{12}$

б) $\cos \frac{23\pi}{12}$

Решение.

Решение 2 (rus).

a)

Чтобы найти значение выражения $sin \frac{13\pi}{12}$, представим угол $\frac{13\pi}{12}$ в виде суммы стандартных углов, значения синуса и косинуса которых известны. Например, $\frac{13\pi}{12}$ можно представить как сумму $\frac{9\pi}{12} + \frac{4\pi}{12}$, что равно $\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$.

Далее воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta$.

$sin \frac{13\pi}{12} = sin(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = sin \frac{3\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{3} + cos \frac{3\pi}{4} \cdot sin \frac{\pi}{3}$.

Нам известны значения тригонометрических функций для этих углов:
$sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
$cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражение и выполним вычисления:
$sin \frac{13\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

б)

Для нахождения значения $cos \frac{23\pi}{12}$, удобно использовать свойство периодичности косинуса. Представим угол $\frac{23\pi}{12}$ как разность $2\pi - \frac{\pi}{12}$.

Используя формулу приведения $cos(2\pi - \alpha) = cos \alpha$, получаем:
$cos \frac{23\pi}{12} = cos(2\pi - \frac{\pi}{12}) = cos \frac{\pi}{12}$.

Теперь необходимо найти значение $cos \frac{\pi}{12}$. Для этого представим угол $\frac{\pi}{12}$ в виде разности стандартных углов: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.

Применим формулу косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta + sin \alpha \cdot sin \beta$.

$cos \frac{\pi}{12} = cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = cos \frac{\pi}{3} \cdot cos \frac{\pi}{4} + sin \frac{\pi}{3} \cdot sin \frac{\pi}{4}$.

Подставим известные значения:
$cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.