Номер 1007, страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Тригонометрия. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1007, страница 261.

Условие.

1007. Докажите, что:
a) $ \text{tg } 2x > 2\text{tg } x $, если $ 0 < x < \frac{\pi}{4} $;
б) $ \text{ctg } \frac{x}{2} \geq 1 + \text{ctg } x $, если $ 0 < x < \pi $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы доказать неравенство $\tg(2x) > 2\tg(x)$ при $0 < x < \frac{\pi}{4}$, воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\tg(2x) = \frac{2\tg(x)}{1 - \tg^2(x)}$.
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$\frac{2\tg(x)}{1 - \tg^2(x)} > 2\tg(x)$.
По условию $0 < x < \frac{\pi}{4}$. В этом интервале функция тангенса возрастает, и ее значения находятся в пределах $0 < \tg(x) < \tg(\frac{\pi}{4})$, то есть $0 < \tg(x) < 1$.
Поскольку $\tg(x) > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $2\tg(x)$ (положительное число), не меняя знака неравенства:
$\frac{1}{1 - \tg^2(x)} > 1$.
Так как $0 < \tg(x) < 1$, то $0 < \tg^2(x) < 1$. Следовательно, знаменатель $1 - \tg^2(x)$ положителен. Мы можем умножить обе части неравенства на $1 - \tg^2(x)$, сохранив знак:
$1 > 1 - \tg^2(x)$.
Вычтем 1 из обеих частей:
$0 > -\tg^2(x)$.
Умножив обе части на -1, мы меняем знак неравенства на противоположный:
$\tg^2(x) > 0$.
Это неравенство верно для всех $x$ из интервала $0 < x < \frac{\pi}{4}$, так как $\tg(x)$ не обращается в ноль в этом интервале. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $\ctg(\frac{x}{2}) \ge 1 + \ctg(x)$ при $0 < x < \pi$, преобразуем его, перенеся $\ctg(x)$ в левую часть:
$\ctg(\frac{x}{2}) - \ctg(x) \ge 1$.
Используем тригонометрические формулы. Выразим левую часть через синус и косинус:
$\ctg(\frac{x}{2}) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}$ и $\ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.
Также можно воспользоваться формулой разности котангенсов $\ctg \alpha - \ctg \beta = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}$.
$\ctg(\frac{x}{2}) - \ctg(x) = \frac{\sin(x - x/2)}{\sin(x/2)\sin(x)} = \frac{\sin(x/2)}{\sin(x/2)\sin(x)} = \frac{1}{\sin(x)}$.
Другой способ — использование универсальной тригонометрической подстановки или формулы половинного угла $\ctg(\frac{x}{2}) = \frac{1+\cos x}{\sin x}$.
$\frac{1+\cos x}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1+\cos x - \cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x}$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:
$\frac{1}{\sin x} \ge 1$.
По условию $0 < x < \pi$. В этом интервале (I и II координатные четверти) функция синуса положительна и принимает значения в диапазоне $0 < \sin x \le 1$.
Поскольку $\sin x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $\sin x$, не меняя знака:
$1 \ge \sin x$.
Это неравенство справедливо для любых действительных значений $x$, так как область значений функции синуса $[-1, 1]$. Следовательно, оно верно и для интервала $0 < x < \pi$.
Равенство достигается, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2}$, что входит в заданный интервал.
Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.